C단계 서술형 🏆 최상
🔥 0400번 — z̄/z 실수 조건 + 등비급수 (서술형)
📝🏆 서술형 고난도! z̄/z가 실수일 조건에서 a=0을 구한 뒤, z=−i의 거듭제곱 급수를 계산하세요. 두 가지 테크닉이 결합된 문제! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
z=a−i에서 z̄/z가 실수일 때, 1+z+z²+⋯+z¹⁰⁰의 값을 구하는 서술형 문제
z=a−i에서 z̄/z가 실수일 때, 1+z+z²+⋯+z¹⁰⁰의 값을 구하는 서술형 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z̄/z가 실수 → 허수부분=0 조건에서 a=0을 구하세요! 그러면 z=−i가 되고, (−i)의 거듭제곱은 주기 4!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
z̄/z 계산
z = a−i, z̄ = a+i
z̄/z = (a+i)/(a−i)
유리화: = (a+i)²/(a²+1)
= (a²−1+2ai)/(a²+1)
= (a²−1)/(a²+1) + {2a/(a²+1)}i
z = a−i, z̄ = a+i
z̄/z = (a+i)/(a−i)
유리화: = (a+i)²/(a²+1)
= (a²−1+2ai)/(a²+1)
= (a²−1)/(a²+1) + {2a/(a²+1)}i
2
실수 조건
z̄/z가 실수 → 허수부분=0
2a/(a²+1) = 0
a²+1≠0이므로 a=0
z̄/z가 실수 → 허수부분=0
2a/(a²+1) = 0
a²+1≠0이므로 a=0
3
z 결정
z = 0−i = −i
z = 0−i = −i
4
(−i)의 거듭제곱 주기
(−i)¹ = −i
(−i)² = i² = −1
(−i)³ = (−i)(−1) = i
(−i)⁴ = 1
→ 주기 4, 4개씩 합 = −i−1+i+1 = 0
(−i)¹ = −i
(−i)² = i² = −1
(−i)³ = (−i)(−1) = i
(−i)⁴ = 1
→ 주기 4, 4개씩 합 = −i−1+i+1 = 0
5
급수 계산
1+z+z²+⋯+z¹⁰⁰
= 1+(−i)+(−i)²+⋯+(−i)¹⁰⁰
z¹~z¹⁰⁰: 100항을 4개씩 25묶음
→ 25×0 = 0
전체 = 1+0 = 1
1+z+z²+⋯+z¹⁰⁰
= 1+(−i)+(−i)²+⋯+(−i)¹⁰⁰
z¹~z¹⁰⁰: 100항을 4개씩 25묶음
→ 25×0 = 0
전체 = 1+0 = 1
정답: 1
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z̄/z가 실수인 조건: 유리화 후 허수부분=0!
→ z=−i 결정 후 (−i)의 주기성(주기 4) 이용
→ 4개씩 묶으면 합=0, 나머지만 계산!
두 테크닉(실수 조건 + 거듭제곱 급수)을 결합하는 종합 문제!
⚠️ 이것만 조심하세요!
z̄/z를 유리화할 때 (a+i)²=a²+2ai+i²=a²−1+2ai를 정확히 전개해야 해요! 또한 급수 1+z+z²+⋯+z¹⁰⁰에서 ‘1’(=z⁰)을 빠뜨리면 답이 0이 되어 틀려요!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 서술형이므로 ① z̄/z 유리화 → ② a=0 도출 → ③ z=−i 확정 → ④ 급수 계산 순서를 명확히! 마지막에 z⁰=1을 포함하는 것을 꼭 보여주세요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀