C단계 서술형 🏆 최상
🔥 0397번 — 켤레복소수의 성질 — αβ·ᾱβ̄ (서술형)
📝🏆 서술형 고난도! ᾱ²−β̄²=(α²−β²)의 켤레라는 성질과, (α+β)(α−β) 인수분해를 결합하는 복합 문제예요. 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
α+β=2+i, ᾱ²−β̄²=−5−10i일 때, αβ·ᾱβ̄의 값을 구하는 서술형 문제
α+β=2+i, ᾱ²−β̄²=−5−10i일 때, αβ·ᾱβ̄의 값을 구하는 서술형 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
ᾱ²−β̄²는 (α²−β²)의 켤레! 따라서 α²−β²=−5+10i. 그리고 α²−β²=(α+β)(α−β)이므로 α−β를 구할 수 있어요!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
켤레 변환
ᾱ²−β̄² = (α²−β²)의 켤레 = −5−10i
→ α²−β² = −5+10i
ᾱ²−β̄² = (α²−β²)의 켤레 = −5−10i
→ α²−β² = −5+10i
2
α−β 구하기
(α+β)(α−β) = α²−β²
(2+i)(α−β) = −5+10i
α−β = (−5+10i)/(2+i)
(α+β)(α−β) = α²−β²
(2+i)(α−β) = −5+10i
α−β = (−5+10i)/(2+i)
3
유리화
= (−5+10i)(2−i)/((2+i)(2−i))
= (−10+5i+20i−10i²)/5
= (−10+25i+10)/5
= 25i/5 = 5i
= (−5+10i)(2−i)/((2+i)(2−i))
= (−10+5i+20i−10i²)/5
= (−10+25i+10)/5
= 25i/5 = 5i
4
α, β 결정
α+β = 2+i, α−β = 5i
2α = 2+6i → α = 1+3i
2β = 2−4i → β = 1−2i
α+β = 2+i, α−β = 5i
2α = 2+6i → α = 1+3i
2β = 2−4i → β = 1−2i
5
αβ·ᾱβ̄ 계산
αβ = (1+3i)(1−2i) = 1−2i+3i−6i² = 7+i
ᾱβ̄ = (αβ)의 켤레 = 7−i
αβ·ᾱβ̄ = |αβ|² = 7²+1² = 26
αβ = (1+3i)(1−2i) = 1−2i+3i−6i² = 7+i
ᾱβ̄ = (αβ)의 켤레 = 7−i
αβ·ᾱβ̄ = |αβ|² = 7²+1² = 26
정답: 26
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
켤레복소수 성질 활용의 핵심 체인:
① ᾱ²−β̄² = (α²−β²)의 켤레
② α²−β² = (α+β)(α−β)로 α−β 구하기
③ α+β와 α−β로 α, β 각각 결정
④ αβ·ᾱβ̄ = |αβ|²
⚠️ 이것만 조심하세요!
유리화 (−5+10i)/(2+i) 계산에서 부호를 잘못 처리하는 실수가 많아요! 또한 마지막에 αβ·ᾱβ̄=|αβ|²라는 사실을 활용하면 ᾱβ̄를 따로 구하지 않아도 돼요.
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
5~6분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 서술형이므로 ① 켤레 변환 → ② α−β 구하기 → ③ α, β 결정 → ④ 곱 계산 순서를 명확히 보여주세요! αβ·ᾱβ̄=|αβ|²를 쓰면 마지막 단계가 빨라져요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀