C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0395번 — 조건을 만족시키는 복소수 구하기 — 분수 방정식
🏆 분수식에 z와 z̄가 동시에! (2z−z̄)/(zz̄)=1−i를 z=a+bi로 풀어내야 하는 고급 문제. 분자의 실수·허수 분리가 핵심이에요! 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
0이 아닌 복소수 z에 대하여 (2z−z̄)/(zz̄)=1−i일 때, 복소수 z를 구하는 문제
0이 아닌 복소수 z에 대하여 (2z−z̄)/(zz̄)=1−i일 때, 복소수 z를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z=a+bi로 놓으면 2z−z̄=2(a+bi)−(a−bi)=a+3bi이고, zz̄=a²+b²! 분수식을 실수·허수로 분리하세요.
✏️ 단계별 풀이 설명
1
2z−z̄ 계산
z=a+bi, z̄=a−bi
2z−z̄ = 2(a+bi)−(a−bi)
= 2a+2bi−a+bi = a+3bi
z=a+bi, z̄=a−bi
2z−z̄ = 2(a+bi)−(a−bi)
= 2a+2bi−a+bi = a+3bi
2
분수식 정리
(a+3bi)/(a²+b²) = 1−i
→ a/(a²+b²) + {3b/(a²+b²)}i = 1−i
(a+3bi)/(a²+b²) = 1−i
→ a/(a²+b²) + {3b/(a²+b²)}i = 1−i
3
상등 조건
실수: a/(a²+b²) = 1 → a²+b² = a …①
허수: 3b/(a²+b²) = −1 → 3b = −(a²+b²) = −a …②
실수: a/(a²+b²) = 1 → a²+b² = a …①
허수: 3b/(a²+b²) = −1 → 3b = −(a²+b²) = −a …②
4
연립방정식 풀기
②에서 a = −3b, ①에 대입:
(−3b)²+b² = −3b
9b²+b² = −3b
10b²+3b = 0
b(10b+3) = 0
z≠0이고 허수부분이 있으려면 b = −3/10
a = −3·(−3/10) = 9/10
②에서 a = −3b, ①에 대입:
(−3b)²+b² = −3b
9b²+b² = −3b
10b²+3b = 0
b(10b+3) = 0
z≠0이고 허수부분이 있으려면 b = −3/10
a = −3·(−3/10) = 9/10
5
최종 답
z = 9/10−(3/10)i = (9−3i)/10
z = 9/10−(3/10)i = (9−3i)/10
정답: 9/10−(3/10)i
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
z와 z̄가 함께 나오는 분수 방정식:
① 2z−z̄ = a+3bi로 정리
② zz̄ = a²+b² (분모)
③ 실수·허수 분리 → 연립방정식
2z−z̄에서 계수가 달라지는 점에 주의!
⚠️ 이것만 조심하세요!
2z−z̄=(a+2bi)로 잘못 계산하는 실수가 많아요! 정확히 계산하면 a+3bi입니다. 또한 b(10b+3)=0에서 b=0이면 z가 실수이므로 원래 식이 성립하는지 확인해야 해요.
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
4~5분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: 2z−z̄ 계산을 빠르고 정확하게! 그 후 분모(a²+b²)로 나누어 상등 조건을 세우면 기계적으로 풀려요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히!
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀