C단계 고난도 🏆 최상
🔥 0394번 — 켤레복소수의 성질 — 대칭식과 부등식
🏆 복소수의 대칭식과 부등식! A와 B를 a, b, c, d로 전개한 뒤 완전제곱식을 발견해야 하는 최고난도 문제! 증명 능력이 필요해요. 💎
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
C단계 고난도 문제! 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 아래 풀이를 따라가세요. 🔥
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
C단계 · 고난도
[문제 요약]
두 복소수 z₁, z₂에 대하여 A=z₁z̄₁+z₂z̄₂, B=z₁z̄₂+z̄₁z₂일 때, 세 보기(ㄱ. A≥0, ㄴ. B≥0, ㄷ. A≥B)의 참·거짓을 판별하는 문제
두 복소수 z₁, z₂에 대하여 A=z₁z̄₁+z₂z̄₂, B=z₁z̄₂+z̄₁z₂일 때, 세 보기(ㄱ. A≥0, ㄴ. B≥0, ㄷ. A≥B)의 참·거짓을 판별하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
z₁=a+bi, z₂=c+di로 놓고 A, B를 전개하세요!
• A = |z₁|²+|z₂|² (항상 ≥0!)
• B = 2Re(z₁z̄₂) = 2(ac+bd)
• A−B = (a−c)²+(b−d)² ≥ 0 (완전제곱식!)
✏️ 단계별 풀이 설명
1
A 전개
A = z₁z̄₁+z₂z̄₂ = |z₁|²+|z₂|²
= a²+b²+c²+d²
→ 항상 ≥ 0
A = z₁z̄₁+z₂z̄₂ = |z₁|²+|z₂|²
= a²+b²+c²+d²
→ 항상 ≥ 0
2
ㄱ. A≥0 검증
A = a²+b²+c²+d² ≥ 0
(모든 항이 제곱이므로)
참 ✓
A = a²+b²+c²+d² ≥ 0
(모든 항이 제곱이므로)
참 ✓
3
B 전개
B = z₁z̄₂+z̄₁z₂
= (a+bi)(c−di)+(a−bi)(c+di)
= (ac+bd)+(bc−ad)i+(ac+bd)−(bc−ad)i
= 2(ac+bd)
→ B는 실수, 하지만 부호는 불확정!
B = z₁z̄₂+z̄₁z₂
= (a+bi)(c−di)+(a−bi)(c+di)
= (ac+bd)+(bc−ad)i+(ac+bd)−(bc−ad)i
= 2(ac+bd)
→ B는 실수, 하지만 부호는 불확정!
4
ㄴ. B≥0 검증
반례: z₁=1, z₂=−1이면
B = 2(1·(−1)+0·0) = −2 < 0
거짓 ✗
반례: z₁=1, z₂=−1이면
B = 2(1·(−1)+0·0) = −2 < 0
거짓 ✗
5
ㄷ. A≥B 검증
A−B = (a²+b²+c²+d²)−2(ac+bd)
= (a²−2ac+c²)+(b²−2bd+d²)
= (a−c)²+(b−d)² ≥ 0
(완전제곱식의 합!)
따라서 A ≥ B
참 ✓
A−B = (a²+b²+c²+d²)−2(ac+bd)
= (a²−2ac+c²)+(b²−2bd+d²)
= (a−c)²+(b−d)² ≥ 0
(완전제곱식의 합!)
따라서 A ≥ B
참 ✓
6
결론
ㄱ, ㄷ만 옳음
ㄱ, ㄷ만 옳음
정답: ④
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
복소수 대칭식의 핵심 정리:
• z₁z̄₁+z₂z̄₂ = |z₁|²+|z₂|² (항상 ≥0)
• z₁z̄₂+z̄₁z₂ = 2Re(z₁z̄₂) (실수, 부호 불확정)
• A−B = (a−c)²+(b−d)² ≥ 0 (완전제곱식!)
이 세 가지를 외워두면 유사 문제를 빠르게 풀 수 있어요.
⚠️ 이것만 조심하세요!
B=2(ac+bd)가 항상 ≥0이라고 착각하기 쉬워요! 반례(z₁=1, z₂=−1)를 빠르게 떠올려야 해요. 또한 A−B를 전개할 때 완전제곱식으로 정리하는 능력이 핵심!
⏱️ 목표 풀이 시간
C단계는 처음에 시간을 두고 완전히 이해하는 것이 우선! 반복 학습 후 시간 단축을 목표로 하세요.
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 전략이 핵심
📝 수능 시험
5~6분
패턴 완전 숙달 후
⚡ 시간 줄이는 법: A=|z₁|²+|z₂|², B=2Re(z₁z̄₂)라는 해석을 먼저 떠올리면 ㄱ은 즉시, ㄴ은 반례로, ㄷ은 A−B 전개로 빠르게 판별 가능! 완전제곱식 발견이 핵심 스킬이에요.
🖼️ 해설 이미지
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
C단계를 풀기 전, 기초를 탄탄히! 아래 워크시트로 기본기를 점검하세요.
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기초부터 탄탄히 쌓아야 C단계가 보입니다! 🚀