I-2 지수함수와 로그함수 > 지수함수
개념 251
지수함수
📌 핵심 정의
정의
\(a\)가 1이 아닌 양수일 때, 실수 \(x\)에 대하여 \(a^x\)의 값은 하나로 정해지므로
$$y = a^x \quad (a>0,\ a \neq 1)$$
은 \(x\)에 대한 함수이다. 이 함수를 \(a\)를 밑으로 하는 지수함수라 한다.
💡 왜 a≠1 조건이 필요한가?
\(a=1\)이면 \(y=1^x=1\) → 모든 \(x\)에 대해 \(y=1\)인 상수함수가 됨.
지수함수는 밑이 1이 아닌 양수인 경우만 다룬다.
\(a=1\)이면 \(y=1^x=1\) → 모든 \(x\)에 대해 \(y=1\)인 상수함수가 됨.
지수함수는 밑이 1이 아닌 양수인 경우만 다룬다.
📊 함수임을 확인 (2ˣ 예시)
| \(x\) | ··· | −1 | −0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | ··· |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2^x\) | ··· | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | 1 | \(\sqrt{2}\) | 2 | \(2\sqrt{2}\) | ··· |
모든 실수 \(x\)에 대해 \(2^x\)의 값은 단 하나 존재 → \(y=2^x\)은 함수이다.
⚠️ 이선생 주의사항
지수의 범위를 실수 전체로 확장했을 때 비로소 지수함수가 성립한다.
\(a>0\) 조건 없이는 \((-2)^{1/2}\)처럼 실수값이 정해지지 않는 경우가 생긴다.
지수의 범위를 실수 전체로 확장했을 때 비로소 지수함수가 성립한다.
\(a>0\) 조건 없이는 \((-2)^{1/2}\)처럼 실수값이 정해지지 않는 경우가 생긴다.
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