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지수법칙 – 지수가 유리수일 때
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📌 핵심 공식 | 답지나라개념사전
조건: \(a > 0,\ b > 0\)이고 \(p,\ q\)가 유리수일 때
① 곱셈
\(a^p a^q = a^{p+q}\)
② 나눗셈
\(a^p \div a^q = a^{p-q}\)
③ 거듭제곱
\((a^p)^q = a^{pq}\)
④ 곱의 거듭제곱
\((ab)^p = a^p b^p\)
⑤ 분수의 거듭제곱
\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^p = \dfrac{a^p}{b^p}\)
📊 지수법칙 조건 한눈에 비교
| 개념 | 지수 범위 | 조건 |
|---|---|---|
| 개념234 | 양의 정수 | 조건 없음 |
| 개념239 | 정수 | \(a \neq 0,\ b \neq 0\) |
| 개념241 ▶ | 유리수 | \(a > 0,\ b > 0\) (양수!) |
| 개념242 | 실수 | \(a > 0,\ b > 0\) |
⚠️ 핵심 주의 – 밑이 음수이면 성립 안 함
지수가 정수가 아닌 유리수일 때, 밑이 음수이면 지수법칙이 성립하지 않습니다.
\(\{(-2)^2\}^{\frac{1}{2}} \neq (-2)^{2 \times \frac{1}{2}}\)
좌변: \(\{(-2)^2\}^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2\) 우변: \((-2)^1 = -2\)
좌변: \(\{(-2)^2\}^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = 2\) 우변: \((-2)^1 = -2\)