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\(a^{\frac{m}{n}}\)의 정의
📚 지수와 로그 > 지수 단원
📌 핵심 정의 | 답지나라개념사전
조건: \(a > 0\)이고 \(m\)은 정수, \(n\)은 2 이상의 정수
① 일반형
\[a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\]
② 특수형
\[a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\]
💡 왜 이렇게 정의할까?
1
지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)이 유리수 지수에도 성립한다고 가정
2
\(\left(a^{\frac{m}{n}}\right)^n = a^{\frac{m}{n} \times n} = a^m\)이 되어야 함
3
\(a > 0\)이므로 \(a^{\frac{m}{n}}\)은 \(a^m\)의 양의 \(n\)제곱근 → \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
📝 계산 예시
\(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)
\(4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = 8\)
\(27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = 9\)
⚠️ 조건 주의
반드시 \(a > 0\) 조건 필요. 음수의 유리수 지수는 실수 범위에서 정의 불가.예: \((-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}\) → 실수 아님