0110번 – 정삼각형 외접원 위의 점과
중점 연결선으로 x²+1/x² 구하기
닮음 → x²−x−1=0 → x−1/x=1 → x²+1/x²=3!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 3개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
세 가지 풀이 영상을 준비했어요! 여러 접근법을 비교해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 교육청 기출 🏫
정삼각형 ABC에서 두 변 AB와 AC의 중점을 각각 M, N이라 하자.
그림과 같이 점 P는 반직선 MN이 삼각형 ABC의 외접원과 만나는 점이고 NP = 1이다.
MN = x라 할 때, 10(x² + 1/x²)의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 15쪽 유형 06 + 19쪽 유형 12 · 답: 30
① M, N은 AB, AC의 중점 → △AMN은 정삼각형 (중점연결)
② MN = AN = x (정삼각형의 한 변)
③ 원의 성질(방멱 또는 닮음)을 사용!
④ △AQN ∽ △PCN (AA 닮음)에서
(1+x) : x = x : 1 → x² = 1+x → x²−x−1 = 0
⑤ x로 나누면: x−1−1/x = 0 → x−1/x = 1
💡 핵심: 도형 조건에서 x²=x+1이라는 관계식이 등장! → x−1/x=1!
📝 단계별 상세 풀이
도형의 성질 파악하기
M, N은 AB, AC의 중점이므로
MN ∥ BC, MN = BC/2
AM = AN = MN = x → △AMN은 정삼각형
NP = 1이고, 점 P는 외접원 위의 점
닮음(또는 방멱)으로 관계식 세우기
원에서의 방멱(교차 현의 정리) 또는 닮음을 이용:
△AQN ∽ △PCN (AA 닮음)에서
AN : PN = MN+NP : AN
(∵ 원주각의 성질 + 정삼각형의 각도 이용)
(1+x) : x = x : 1
교차 곱: x · x = 1 · (1+x)
x² = x + 1
x² − x − 1 = 0 … ⓐ
💡 황금비와 관련된 유명한 방정식! x = (1+√5)/2 ≈ 1.618
x−1/x 구하기
ⓐ에서 x² − x − 1 = 0
x ≠ 0이므로 양변을 x로 나누면:
x − 1 − 1/x = 0
∴ x − 1/x = 1
x² + 1/x² 구하기
x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2
= 1² + 2 = 3
∴ 10(x² + 1/x²) = 10 × 3 = 30
⚠️ 자주 틀리는 실수
닮음 비례식을 잘못 세우는 실수!
(1+x) : x = x : 1 ✅ → 교차 곱: x² = 1+x
(1+x) : 1 = x : x ❌ → 비례 대응 관계를 잘못 잡으면 전혀 다른 식이 나와요!
x²−x−1=0에서 양변을 x로 나누는 것을 생각 못하는 실수!
x²−x−1 = 0 → x − 1 − 1/x = 0 → x − 1/x = 1 ✅
이 변환이 핵심! x² + 1/x²을 구하려면 x − 1/x(또는 x + 1/x)가 필요해요.
x²+1/x² 공식에서 부호 실수!
x²+1/x² = (x−1/x)² + 2 ✅ (뺄셈이므로 +2!)
x²+1/x² = (x+1/x)² − 2 (덧셈이면 −2!)
→ 뺄셈 제곱 → +2, 덧셈 제곱 → −2 로 외우세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
x² − x − 1 = 0의 양의 해: x = (1+√5)/2 ≈ 1.618 → 황금비!
🔥 정삼각형, 정오각형 관련 문제에서 자주 등장하는 관계식!
x−1/x를 알 때: → +2
x+1/x를 알 때: → −2
→ 어떤 조합이든 x²+1/x²로 변환 가능!
ax²+bx+c = 0의 양변을 x로 나누면:
ax + b + c/x = 0 → x + c/(ax) = −b/a
이 문제: x²−x−1 = 0 ÷ x → x−1−1/x = 0 → x−1/x = 1
→ x+1/x 또는 x−1/x 값을 한 줄에 뽑아내는 강력 기법!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 7~8분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 3분 | 2분 30초 |
① 도형 조건에서 비례식을 빠르게 세우세요!
닮음 대응 관계를 정확히 파악하는 것이 핵심. 연습이 필요합니다.
② x²=x+1 발견 → 양변 ÷ x → x−1/x=1을 자동화!
이 패턴을 인식하면 계산은 10초면 끝나요.
③ (x−1/x)²+2 공식 즉시 적용!
= 1+2 = 3 → 10×3 = 30 → 즉답!
📸 해설 이미지
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