0109번 – 두 정육면체의 모서리 차와
부피 차로 겉넓이의 합 구하기
x³−y³ = (x−y)³+3xy(x−y) → xy 먼저, 겉넓이는 나중에!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
큰 정육면체 안에 작은 정육면체가 세 면이 접하도록 놓여 있다.
두 정육면체의 한 모서리의 길이의 차가 4이고, 부피의 차가 100일 때,
두 정육면체의 겉넓이의 합은?
① 124 ② 128 ③ 132 ④ 136 ⑤ 140
※ 난이도: ★★★ (상) · 14쪽 유형 05 + 19쪽 유형 12 · 답: ③ 132
① 큰 모서리 = x, 작은 모서리 = y로 놓으면
② x − y = 4, x³ − y³ = 100
③ 겉넓이의 합 = 6x² + 6y² = 6(x² + y²)
④ x² + y² = (x−y)² + 2xy → xy만 구하면 끝!
⑤ x³−y³ = (x−y)³ + 3xy(x−y) → xy 추출!
💡 핵심: x³−y³에서 xy를 뽑아내고 → x²+y²로 변환!
📝 단계별 상세 풀이
x³−y³에서 xy 구하기
x³ − y³ = (x−y)³ + 3xy(x−y)
[∵ (x−y)³ = x³−3x²y+3xy²−y³ → x³−y³ = (x−y)³+3xy(x−y)]
100 = 4³ + 3·xy·4
100 = 64 + 12xy
12xy = 36
xy = 3
💡 x³−y³을 (x−y)와 xy로 표현! 이미 알고 있는 값만으로 xy를 바로 구해요!
x² + y² 구하기
x² + y² = (x−y)² + 2xy
= 4² + 2·3
= 16 + 6 = 22
겉넓이의 합 계산
두 정육면체의 겉넓이의 합
= 6x² + 6y² = 6(x² + y²)
= 6 × 22 = 132
⚠️ 자주 틀리는 실수
x³−y³ 변형 공식을 잘못 쓰는 실수!
x³−y³ = (x−y)³ + 3xy(x−y) ✅
x³−y³ = (x−y)³ + 3xy ❌ → (x−y)를 곱해야 해요!
x²+y² = (x−y)²+2xy와 (x+y)²−2xy를 혼동!
x−y가 주어졌으니: x²+y² = (x−y)²+2xy = 16+6 = 22 ✅
x+y가 주어졌으면: x²+y² = (x+y)²−2xy (이 문제에서는 해당 없음)
겉넓이 공식 실수!
정육면체 겉넓이 = 6a² (한 면 a² × 6면) ✅
정육면체 겉넓이 = 4a² ❌ (정사각형은 4변이지만 정육면체는 6면!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
→ x−y를 알 때는 두 번째 공식이 훨씬 편리! xy를 바로 뽑아낼 수 있어요!
비교: x²+y² = (x+y)² − 2xy (x+y가 주어진 경우)
정육면체 겉넓이의 합 = 6(x²+y²) → 대칭식!
부피의 차 = x³−y³ → 세제곱 차!
모서리의 차 = x−y → 기본 조건!
→ 도형 문제도 결국 x−y, xy만 알면 끝!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1분 30초 | 1분 |
① “모서리 차 → 부피 차 → 겉넓이” 3단계를 자동화!
x−y로 x³−y³ 식에 대입 → xy → x²+y² → 6배 → 끝!
② x³−y³ = (x−y)³+3xy(x−y) 공식을 바로 적용!
이 공식 하나면 xy를 한 줄 만에 구할 수 있어요.
📸 해설 이미지
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