0107번 – P(x)의 나머지로
{P(x)}²의 나머지 R(−1) 구하기
나머지의 제곱 → 다시 나누기! “나머지의 나머지” 전략!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 P(x)를 x²+9로 나누었을 때의 나머지가 x+3이고,
{P(x)}²을 x²+9로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때,
R(−1)의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 18쪽 유형 11 · 답: −6
① P(x) = (x²+9)Q(x) + (x+3) → 나머지가 x+3
② {P(x)}² = {(x²+9)Q(x) + (x+3)}²
③ 전개하면 → (x²+9)를 포함하는 항은 나누어떨어짐!
④ 나머지 결정 = (x+3)²을 x²+9로 나눈 나머지!
⑤ (x+3)² = x²+6x+9 = (x²+9) + 6x → 나머지는 6x!
💡 핵심: “나머지의 제곱”을 다시 나누면 최종 나머지!
📝 단계별 상세 풀이
P(x)를 나눗셈 형태로 쓰기
P(x) = (x²+9)Q(x) + (x+3)
(Q(x)는 몫, x+3은 나머지)
{P(x)}² 전개하기
{P(x)}² = {(x²+9)Q(x) + (x+3)}²
= (x²+9)²{Q(x)}² + 2(x²+9)(x+3)Q(x) + (x+3)²
앞의 두 항은 (x²+9)를 인수로 포함 → 나누어떨어짐!
따라서 나머지는 (x+3)²을 x²+9로 나눈 나머지와 같다!
💡 (A·Q+r)² = A²Q²+2AQr+r² → A가 있는 항은 다 나누어떨어져요!
(x+3)²을 x²+9로 나누기
(x+3)² = x² + 6x + 9
= (x² + 9) + 6x
따라서 나머지 R(x) = 6x
💡 x²+6x+9에서 x²+9를 빼면 6x만 남아요! 아주 깔끔!
R(−1) 계산
R(x) = 6x
R(−1) = 6 × (−1) = −6
⚠️ 자주 틀리는 실수
{P(x)}² 전개에서 나머지 부분을 놓치는 실수!
{(x²+9)Q+(x+3)}² 에서 (x+3)² 부분만 나머지에 기여!
나머지 = (x+3)²을 다시 x²+9로 나눈 나머지 ✅
나머지 = (x+3)² 자체 ❌ (차수가 2차이므로 한 번 더 나눠야!)
(x+3)² = x²+9+6x 로 분리하는 과정에서 실수!
(x+3)² = x²+6x+9 ✅
x²+9를 빼면: (x²+6x+9) − (x²+9) = 6x ✅
R(−1)에서 부호 실수!
R(x) = 6x → R(−1) = 6·(−1) = −6 ✅
부호를 빼먹고 6이라 답하면 ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
P(x)를 g(x)로 나눈 나머지가 r(x)일 때:
= {r(x)}ⁿ을 g(x)로 나눈 나머지
🔥 P(x)를 전혀 몰라도 나머지 r(x)만 알면 끝!
(x+a)² = x² + 2ax + a²
= (x² + a²) + 2ax
이 문제에서: (x+3)² = (x²+9) + 6x → 나머지 6x!
→ (x+a)²을 x²+a²로 나누면 나머지는 항상 2ax!
① P(x) = g(x)·Q(x) + r(x) 형태로 쓰기
② {P(x)}² 전개 → g(x) 포함 항은 자동 소거
③ {r(x)}²을 g(x)로 나누어 최종 나머지 결정
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1분 30초 | 1분 |
① “{P(x)}ⁿ의 나머지 = {r(x)}ⁿ의 나머지”를 바로 떠올리세요!
이 원리만 알면 Step 2를 건너뛰고 바로 (x+3)²÷(x²+9)로 갈 수 있어요.
② (x+3)² = (x²+9) + 6x → 암산으로 30초!
나누는 식과 나머지의 관계가 눈에 보이면 즉답!
📸 해설 이미지
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