0106번 – x = (1+√3)/2 일 때
4x⁴−2x³−5x+3의 값 구하기
무리수 → 제곱하여 정수관계식 만들기 → 나눗셈으로 값 구하기!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
x = (1+√3)/2 일 때, 4x⁴ − 2x³ − 5x + 3의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 17쪽 유형 10 · 답: 5
① x = (1+√3)/2 → 2x − 1 = √3
② 양변을 제곱! (2x−1)² = 3 → 4x²−4x+1 = 3
③ 정리하면: 2x²−2x−1 = 0 → x가 만족하는 이차방정식!
④ 4x⁴−2x³−5x+3을 2x²−2x−1로 나누면!
⑤ 2x²−2x−1 = 0이므로 나머지만 남는다!
💡 핵심: 무리수 → 제곱 → 관계식 = 0 → 나눗셈으로 나머지만 계산!
📝 단계별 상세 풀이
x가 만족하는 관계식 구하기
x = (1+√3)/2에서
2x = 1+√3
2x − 1 = √3
양변을 제곱하면:
(2x−1)² = 3
4x² − 4x + 1 = 3
4x² − 4x − 2 = 0
2x² − 2x − 1 = 0 … ⓐ
💡 무리수가 주어지면 “제곱해서 √를 없애기”가 기본 전략!
4x⁴−2x³−5x+3을 2x²−2x−1로 나누기
조립제법 또는 다항식 나눗셈으로:
(4x⁴−2x³−5x+3) ÷ (2x²−2x−1)
= (2x²−2x−1) · (2x²+x+2) + 5
[나눗셈 과정]
4x⁴−2x³+0x²−5x+3을 나눕니다 (x² 항이 없으므로 0x² 추가!)
① 4x⁴ ÷ 2x² = 2x² → 2x²(2x²−2x−1) = 4x⁴−4x³−2x²
② 빼면: 2x³+2x²−5x+3 → 2x³ ÷ 2x² = x
③ x(2x²−2x−1) = 2x³−2x²−x
④ 빼면: 4x²−4x+3 → 4x² ÷ 2x² = 2
⑤ 2(2x²−2x−1) = 4x²−4x−2
⑥ 빼면: 5 → 나머지 = 5
최종 답 구하기
4x⁴−2x³−5x+3 = (2x²−2x−1)·(2x²+x+2) + 5
ⓐ에서 2x²−2x−1 = 0이므로:
= 0 × (2x²+x+2) + 5
= 5
⚠️ 자주 틀리는 실수
x = (1+√3)/2를 직접 대입하려는 실수!
4x⁴에 무리수를 직접 대입하면 계산이 너무 복잡해요!
반드시 관계식 2x²−2x−1=0을 먼저 만드세요!
나눗셈에서 x²항을 빠뜨리는 실수!
4x⁴−2x³−5x+3에는 x²항이 없어요!
나눗셈할 때 반드시 0x²를 넣어서 자리를 맞춰야 합니다.
관계식 부호 실수!
4x²−4x+1 = 3 → 4x²−4x−2 = 0 → 2x²−2x−1 = 0 ✅
4x²−4x+1 = 3 → 4x²−4x+4 = 0 ❌ (1을 이항하지 않은 경우)
🧠 외워두면 좋은 패턴
무리수 x가 주어지고 다항식의 값을 구하는 문제:
2단계: 구하려는 다항식 f(x)를 g(x)로 나눗셈
3단계: f(x) = g(x)·Q(x) + R → g(x)=0이므로 답 = R(나머지)
🔥 이 3단계 패턴은 무리수 다항식 문제의 정석!
• x = (1+√3)/2 → 2x−1 = √3 → (2x−1)² = 3
• x = 2+√5 → x−2 = √5 → (x−2)² = 5
• x = √2+√3 → x−√2 = √3 → (x−√2)² = 3 → x²−2√2x−1 = 0
→ 무리수 부분을 한쪽으로 모은 후 제곱!
4x⁴−2x³−5x+3에는 x²항이 없으므로:
→ 4x⁴−2x³+0x²−5x+3으로 써야 나눗셈 정확!
→ 빈 차수의 계수는 0으로 반드시 채우세요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 6~7분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
① “무리수 → 제곱 → 관계식” 자동화!
x=(1+√3)/2 보자마자 2x−1=√3 → 4x²−4x−2=0 → 30초면 완성!
② 나눗셈을 빠르게 하는 연습!
4차÷2차 나눗셈은 3번의 빼기 과정! 실수 없이 하려면 반복 연습!
③ 검산: 나머지가 상수인지 확인!
2차식으로 나누면 나머지는 1차 이하! 깔끔한 상수가 나오면 정답 확률 높아요.
📸 해설 이미지
교재 해설을 이미지로 확인하세요.
