0104번 – 역수의 합, abc, (a+b)(b+c)(c+a)
세 조건으로 a²+b²+c² 구하기
대칭식의 3대 요소: a+b+c, ab+bc+ca, abc → 모두 역추적!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요. 다른 접근법도 확인해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
1/a + 1/b + 1/c = 11/6, abc = 6, (a+b)(b+c)(c+a) = 60
일 때, a²+b²+c²의 값은?
① 14 ② 16 ③ 18 ④ 20 ⑤ 22
※ 난이도: ★★★ (상) · 16쪽 유형 07 · 답: ① 14
① 대칭식 문제의 3대 요소: σ₁ = a+b+c, σ₂ = ab+bc+ca, σ₃ = abc
② σ₃ = abc = 6 (이미 주어짐!)
③ 1/a+1/b+1/c = (ab+bc+ca)/(abc) = σ₂/σ₃ = 11/6 → σ₂ = 11
④ (a+b)(b+c)(c+a) = (σ₂)(σ₁) − σ₃ … 를 이용해 σ₁ 구하기!
⑤ a²+b²+c² = σ₁² − 2σ₂ = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca)
💡 핵심: σ₁, σ₂, σ₃를 모두 구하면 끝!
📝 단계별 상세 풀이
ab+bc+ca 구하기 (σ₂)
1/a + 1/b + 1/c = (ab+bc+ca)/(abc)
11/6 = (ab+bc+ca)/6
∴ ab+bc+ca = 11
💡 역수의 합 = (쌍곱의 합)/(세 수의 곱) → 핵심 변환!
a+b+c 구하기 (σ₁)
(a+b)(b+c)(c+a)를 전개하면:
= (ab+bc+ca)(a+b+c) − abc
[∵ 전개하면 a²b+a²c+ab²+b²c+ac²+bc²+2abc
= (ab+bc+ca)(a+b+c) − abc]
60 = 11 × (a+b+c) − 6
11(a+b+c) = 66
∴ a+b+c = 6
a²+b²+c² 구하기
a²+b²+c² = (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca)
= 6² − 2 × 11
= 36 − 22
= 14
⚠️ 자주 틀리는 실수
(a+b)(b+c)(c+a) 전개 공식을 모르는 실수!
(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+bc+ca)(a+b+c) − abc ✅
이 공식은 반드시 외워두세요! 직접 전개하면 시간 낭비입니다.
1/a+1/b+1/c 변환 실수!
1/a+1/b+1/c = (ab+bc+ca)/(abc) ✅
1/a+1/b+1/c = (a+b+c)/(abc) ❌ (분자가 합이 아니라 쌍곱의 합!)
(a+b)(b+c)(c+a) 공식에서 −abc를 빼먹는 실수!
= (ab+bc+ca)(a+b+c) − abc ✅
= (ab+bc+ca)(a+b+c) ❌ (−abc를 빼야 해요!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
모든 대칭식은 다음 세 값으로 표현 가능:
활용 공식:
• a²+b²+c² = σ₁² − 2σ₂
• a³+b³+c³ = σ₁³ − 3σ₁σ₂ + 3σ₃
• 1/a+1/b+1/c = σ₂/σ₃
= (a+b+c)(ab+bc+ca) − abc
🔥 이 공식은 시험에서 정말 자주 나와요!
• abc가 주어지면 → σ₃ 확보
• 1/a+1/b+1/c → σ₂/σ₃로 σ₂ 확보
• (a+b)(b+c)(c+a) → σ₁·σ₂−σ₃으로 σ₁ 확보
→ 세 조건이 세 대칭값 하나씩을 주는 구조!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① “대칭식 3대 요소”를 바로 떠올리세요!
a+b+c, ab+bc+ca, abc → 이 세 값을 찾겠다는 목표를 먼저 세우세요.
② 각 조건에서 하나씩 추출!
abc=6 → σ₃, 역수합 → σ₂, 곱전개 → σ₁ 순서로 빠르게!
③ 공식을 외워두면 계산이 30초면 끝!
σ₁²−2σ₂ = 36−22 = 14 → 즉답!
📸 해설 이미지
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