0101번 – 제곱 합과 세제곱 합 조건으로
자연수 순서쌍 개수 구하기
a = x²+y², b = (x³+y³)÷(x+y) → a−b = xy!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (서술형 배점 포함)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
다음 조건을 모두 만족시키는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)의 개수를 구하시오.
(ㄱ) x, y의 제곱의 합은 a이다. → x²+y² = a
(ㄴ) x, y의 세제곱의 합은 x+y의 b배이다. → x³+y³ = b(x+y)
(ㄷ) a − b = 20
※ 난이도: ★★★ (상) · 14쪽 유형 05 · 답: 6
① a = x²+y² = (x+y)²−2xy … 곱셈 공식 변형!
② x³+y³ = b(x+y)이므로 b = (x³+y³)/(x+y) = (x+y)²−3xy
(∵ x³+y³ = (x+y)(x²−xy+y²) = (x+y){(x+y)²−3xy})
③ a−b = {(x+y)²−2xy} − {(x+y)²−3xy} = xy
④ 따라서 a−b = 20 → xy = 20
💡 핵심: 복잡해 보이지만, a−b를 계산하면 (x+y)² 항이 상쇄되어 xy만 남아요!
📝 단계별 상세 풀이
조건 ㄱ에서 a 표현하기
배점 30%a = x²+y² = (x+y)² − 2xy … ⓐ
조건 ㄴ에서 b 표현하기
배점 30%x³+y³ = b(x+y)
x, y는 자연수이므로 x+y ≠ 0
∴ b = (x³+y³)/(x+y)
x³+y³ = (x+y)(x²−xy+y²)
= (x+y){(x+y)²−3xy}
∴ b = (x+y)² − 3xy … ⓑ
조건 ㄷ에 대입하여 xy 구하기
배점 20%a − b = {(x+y)²−2xy} − {(x+y)²−3xy}
= (x+y)² − 2xy − (x+y)² + 3xy
= xy
따라서 a−b = 20 → xy = 20
💡 (x+y)² 항이 깔끔하게 상쇄! 이 문제의 핵심!
xy = 20인 자연수 순서쌍 나열
배점 20%xy = 20이고 x, y가 자연수인 순서쌍 (x, y):
(1, 20), (2, 10), (4, 5), (5, 4), (10, 2), (20, 1)
총 6개
⚠️ 자주 틀리는 실수
x³+y³ 인수분해를 잘못하는 실수!
x³+y³ = (x+y)(x²−xy+y²) ✅
x³+y³ = (x+y)(x²+xy+y²) ❌ (부호 주의! 가운데 항은 −xy!)
x²−xy+y² = (x+y)²−3xy 변환을 잘못하는 실수!
x²−xy+y² = (x²+y²)−xy = {(x+y)²−2xy}−xy = (x+y)²−3xy ✅
x²−xy+y² = (x+y)²−2xy ❌ (이건 x²+y²!)
순서쌍 개수에서 순서를 무시하는 실수!
순서쌍 (x, y)이므로 (4, 5)와 (5, 4)는 다른 것! → 6개 ✅
순서 무시하고 3개로 답하면 ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
🔥 이 세 공식만 알면 a−b 같은 복잡한 식도 쉽게 정리!
20 = 1×20 = 2×10 = 4×5
순서쌍으로는: (1,20), (2,10), (4,5), (5,4), (10,2), (20,1) → 6개
→ 약수의 개수가 d개면, 순서쌍은 d개!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① a와 b를 (x+y)², xy로 바로 표현!
곱셈 공식 변형에 익숙해지면 a, b를 30초 안에 표현할 수 있어요.
② a−b에서 (x+y)² 상쇄를 기대!
이런 문제에서 a−b, a+b 등을 계산하면 대부분 깔끔한 결과가 나와요.
📸 해설 이미지
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