0100번 – 점화식으로 정의된
다항식 f₆(x)의 x의 계수
fₙ₊₁(x) = fₙ(x+n) → x 자리의 이동 누적량 추적!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
자연수 n에 대하여 다항식 fₙ(x)가 다음 조건을 모두 만족시킬 때,
다항식 f₆(x)의 x의 계수는?
(ㄱ) f₁(x) = x³ − 6x² + 10
(ㄴ) fₙ₊₁(x) = fₙ(x + n)
① 490 ② 495 ③ 500 ④ 505 ⑤ 510
※ 난이도: ★★★ (상) · 13쪽 유형 02 + 유형 03 · 답: ② 495
① fₙ₊₁(x) = fₙ(x+n) → x 자리에 x+n을 대입하는 것!
② f₂(x) = f₁(x+1) → x에 x+1 대입 (1만큼 이동)
③ f₃(x) = f₂(x+2) → 추가로 2만큼 이동
④ f₆(x)까지 가면 총 이동량 = 1+2+3+4+5 = 15
⑤ 따라서 f₆(x) = f₁(x+15) = (x+15)³ − 6(x+15)² + 10
💡 핵심: 전체를 일일이 계산할 필요 없이 “총 이동량”만 구하면 끝!
📝 단계별 상세 풀이
이동량 추적하기
fₙ₊₁(x) = fₙ(x+n)이므로:
| 다항식 | 변환 | 이번 이동 | 누적 이동 |
|---|---|---|---|
| f₁(x) | 시작 | — | 0 |
| f₂(x) | f₁(x+1) | +1 | 1 |
| f₃(x) | f₂(x+2) | +2 | 1+2=3 |
| f₄(x) | f₃(x+3) | +3 | 3+3=6 |
| f₅(x) | f₄(x+4) | +4 | 6+4=10 |
| f₆(x) | f₅(x+5) | +5 | 10+5=15 |
💡 누적 이동 = 1+2+3+4+5 = 15
f₆(x) 구하기
f₆(x) = f₁(x+15)
= (x+15)³ − 6(x+15)² + 10
x의 계수만 뽑아내기
(x+15)³ 에서 x의 계수:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 에서
x항 = 3·x·15² = 3·225·x = 675x
−6(x+15)² 에서 x의 계수:
(x+15)² = x² + 30x + 225 에서 x항 = 30x
−6 × 30x = −180x
+10 에서 x의 계수: 0
따라서 x의 계수 = 675 − 180 = 495
f₆(x)를 완전히 전개할 필요 없이 x의 계수만 뽑아내면 돼요!
(x+15)³에서 x항, −6(x+15)²에서 x항만 계산하면 30초면 충분합니다.
⚠️ 자주 틀리는 실수
누적 이동량을 잘못 계산!
f₆(x)의 누적 이동: 1+2+3+4+5 = 15 ✅
1+2+3+4+5+6 = 21로 계산 ❌ (f₆까지 가면 n=5까지!)
→ fₙ₊₁(x) = fₙ(x+n)이므로 f₆ = f₅(x+5)까지! n=6은 사용하지 않아요.
(x+15)³에서 x의 계수를 잘못 구하는 실수!
x항 = 3·x·15² = 3 × 225 × x = 675x ✅
x항 = 3·x·15 = 45x ❌ (15²=225를 잊는 경우!)
→ (a+b)³에서 a항(1차) = 3ab² 이므로 b²=15²=225!
f₆(x)를 완전히 전개하려는 실수!
이 문제는 x의 계수만 구하면 돼요.
전체를 전개하면 시간만 낭비하고 실수할 확률이 높아져요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
fₙ₊₁(x) = fₙ(x+n) 형태의 점화식에서:
f₆의 경우: 1+2+3+4+5 = 5×6/2 = 15
→ 등차수열의 합 공식을 활용하면 빠릅니다!
(x+k)³에서 각 항의 계수:
x³항: 1 | x²항: 3k | x항: 3k² | 상수항: k³
(x+k)²에서 각 항의 계수:
x²항: 1 | x항: 2k | 상수항: k²
이 공식은 시험에서 정말 자주 나와요!
1+2+3+4+5 = 5×6/2 = 15
1+2+⋯+10 = 10×11/2 = 55
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① 누적 이동량을 바로 계산!
1+2+3+4+5 = 15를 즉시 구하면 f₆(x)=f₁(x+15)로 바로 점프!
② x의 계수만 뽑아내기!
(x+15)³에서 x항=3·225x=675x, −6(x+15)²에서 x항=−180x → 675−180=495
③ 전체 전개 절대 금지!
필요한 계수만 계산하는 습관을 들이세요. 시간과 정확도 모두 좋아져요!
📸 해설 이미지
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