0099번 – 세 실수 x, y, z의
조건으로 10xyz 값 구하기
“적어도 하나는 3” = 곱이 0! 조건식의 마법
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 교육청 기출 🏫
세 실수 x, y, z가 다음 조건을 만족시킨다.
(ㄱ) x, y, 2z 중에서 적어도 하나는 3이다.
(ㄴ) 3(x+y+2z) = xy+2yz+2zx
10xyz의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 13쪽 유형 03 · 답: 135
① “x, y, 2z 중에서 적어도 하나는 3“
→ x=3 또는 y=3 또는 2z=3
→ (x−3)(y−3)(2z−3) = 0 으로 변환!
② 조건 ㄴ: 3(x+y+2z) = xy+2yz+2zx
→ 이것을 (x−3)(y−3)(2z−3) 전개식에 대입하면 xyz가 나와요!
💡 핵심: “적어도 하나가 α” = 세 인수의 곱이 0 → 전개 후 조건 대입!
📝 단계별 상세 풀이
조건 ㄱ을 곱의 형태로 변환
“x, y, 2z 중 적어도 하나가 3”
⟺ x=3 또는 y=3 또는 2z=3
⟺ (x−3)(y−3)(2z−3) = 0
💡 이것이 이 문제의 핵심 발상이에요! “적어도 하나가 α”를 곱=0으로!
(x−3)(y−3)(2z−3) 전개하기
먼저 (x−3)(y−3) = xy − 3x − 3y + 9
이것에 (2z−3)을 곱하면:
(xy−3x−3y+9)(2z−3)
= 2xyz − 3xy − 6xz + 9x − 6yz + 9y + 18z − 27
정리하면:
= 2xyz − 3(xy+2yz+2zx) + 9(x+y+2z) − 27
조건 ㄴ 대입하기
조건 ㄴ에서: xy+2yz+2zx = 3(x+y+2z)
Step 2의 전개식에 대입:
2xyz − 3·3(x+y+2z) + 9(x+y+2z) − 27 = 0
= 2xyz − 9(x+y+2z) + 9(x+y+2z) − 27
= 2xyz − 27 = 0
💡 놀랍게도 (x+y+2z) 항이 완전히 상쇄되어 xyz만 남아요!
xyz 값 구하기
2xyz = 27
xyz = 27/2
∴ 10xyz = 10 × 27/2 = 135
⚠️ 자주 틀리는 실수
“적어도 하나가 3″을 곱=0으로 바꾸지 못하는 실수!
x=3 OR y=3 OR 2z=3 ⟺ (x−3)(y−3)(2z−3) = 0
이 변환이 떠오르지 않으면 문제를 풀 수 없어요!
전개식에서 계수를 잘못 정리하는 실수!
−3(xy+2yz+2zx) = −3xy−6yz−6zx ✅
−3(xy+2yz+2zx) = −3xy−2yz−2zx ❌ (3을 곱하지 않은 경우)
2z에 대해 (2z−3)으로 써야 하는데 (z−3)으로 쓰는 실수!
“2z 중에서 적어도 하나가 3” → 2z = 3 → (2z−3) = 0 ✅
(z−3) = 0 ❌ (z가 아니라 2z가 3!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
⟺ (A−α)(B−α)(C−α) = 0
🔥 이 변환만 떠올리면 문제의 50%는 해결!
(x−3)(y−3)(2z−3) 전개식에서:
2xyz − 3(xy+2yz+2zx) + 9(x+y+2z) − 27 = 0
조건 ㄴ: xy+2yz+2zx = 3(x+y+2z) 대입 → 중간항 상쇄!
→ 두 조건이 서로를 “소거”하도록 설계된 문제!
교육청 기출에서 “적어도 하나는 ~” 조건은 곱=0으로 해석!
“모두 ~” 조건은 각각의 등식으로 해석!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 6~7분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
① “적어도 하나가 3” → 곱=0을 즉시 세우세요!
이 발상이 바로 떠오르면 풀이 시간이 절반으로 줄어요.
② 전개식의 구조를 파악하세요!
2xyz − 3(쌍곱합) + 9(합) − 27 의 패턴을 기억하면 전개가 빨라요.
📸 해설 이미지
교재 해설을 이미지로 확인하세요.
