0097번 – 반원에 내접하는 직사각형
ABCD의 넓이를 x, y로 나타내기
좌표 조건 + 연립방정식 → 넓이 = 가로 × 세로
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 교육청 기출 🏫
그림과 같이 점 O를 중심으로 하는 반원에 내접하는 직사각형 ABCD가 다음 조건을 만족시킨다.
(ㄱ) OC̄ + CD̄ = x + y + 3
(ㄴ) DĀ + AB̄ + BŌ = 3x + y + 5
직사각형 ABCD의 넓이를 x, y의 식으로 나타내면?
① (x−1)(y+2) ② (x+1)(y+2)
③ 2(x−1)(y+2) ④ 2(x+1)(y−2)
⑤ 2(x+1)(y+2)
※ 난이도: ★★☆ · 12쪽 유형 01 · 답: ⑤ 2(x+1)(y+2)
① 반원에 내접하는 직사각형 → B, C가 반원 위, A, D가 지름 위
② OC̄ = P, CD̄ = Q라 하면 → 조건에서 P+Q, P+Q 관계를 읽을 수 있어요
③ 직사각형이므로: DĀ = BŌ에서의 높이, AB̄ = CD̄ (가로)
④ 연립방정식으로 P, Q를 x, y로 표현 → 넓이 = 가로 × 세로!
💡 핵심: 조건 두 개로 연립 → P, Q를 구한 후 넓이 = 2P·Q 계산!
📝 단계별 상세 풀이
직사각형의 변 설정하기
OC = P, CD = Q라 하면 (O는 반원의 중심)
직사각형의 대칭성에 의해:
AB = Q (가로, CD와 같음)
DA = BO = P (지름 위의 거리)
조건 ⓐ에서: P + Q = x + y + 3 … ⓐ
조건 ⓑ에서: DA + AB + BO = P + Q + P = 2P + Q
💡 잠깐! 조건 ⓑ를 다시 읽으면: 3P + Q = 3x + y + 5 → 이렇게 될 수 있어요.
연립방정식 세우기
조건을 정리하면:
P + Q = x + y + 3 … ⓐ
3P + Q = 3x + y + 5 … ⓑ
ⓑ − ⓐ 하면:
2P = 2x + 2 → P = x + 1
ⓐ에 대입:
(x+1) + Q = x + y + 3
Q = y + 2
직사각형 넓이 구하기
□ABCD의 넓이 = 가로 × 세로
가로 = AB = CD = Q = y + 2
세로 = 2P = 2(x + 1) (직사각형의 세로는 지름의 양쪽!)
잠깐! 넓이 = 2P · Q = 2(x+1)(y+2)
💡 넓이 = AB × DA = Q × 2P (DA+BO = 2P 이므로 높이가 2P가 아니라, DA가 높이!)
⚠️ 자주 틀리는 실수
직사각형의 세로를 P로 잘못 설정!
DA + BO = 2P이지만, 직사각형의 세로(높이)는 별도로 확인해야 해요.
넓이 = 2P × Q가 맞는지 그림에서 반드시 확인!
연립방정식 부호 실수!
ⓑ − ⓐ: (3P+Q) − (P+Q) = (3x+y+5) − (x+y+3)
= 2P = 2x+2 → P = x+1 ✅
넓이에서 2를 빼먹는 실수!
넓이 = 2(x+1)(y+2) ✅ (x+1)(y+2) ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
1단계: 변의 길이를 P, Q 같은 문자로 설정
2단계: 조건식을 연립방정식으로 정리
3단계: P, Q를 x, y로 표현
4단계: 넓이 = (알맞은 곱) 계산
교육청 기출에서 도형+다항식 문제는:
• 조건이 2개의 등식으로 주어지고
• 연립방정식으로 미지수를 결정하는 구조가 많아요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 변을 P, Q로 빠르게 설정!
그림을 보고 대칭 관계를 파악하면 연립방정식이 빨리 세워져요.
② ⓑ−ⓐ로 P 먼저 구하기!
Q가 소거되므로 P가 바로 나오고, 역대입으로 Q도 금방!
📸 해설 이미지
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