0093번 – 삼각형 세 변의 관계식으로
삼각형의 종류 판별하기
곱셈 공식 전개로 a²+b²=c² 관계를 알아내자!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
AB̄=c, BC̄=a, CĀ=b인 삼각형 ABC에서
(a+b+c)(a+b−c) = (a−b+c)(−a+b+c)
일 때, 삼각형 ABC는 어떤 삼각형인가?
① a=c인 이등변삼각형 ② b=c인 이등변삼각형
③ ∠A=90°인 직각삼각형 ④ ∠B=90°인 직각삼각형
⑤ ∠C=90°인 직각삼각형
※ 난이도: ★★☆ (중상) · 답: ⑤ ∠C=90°인 직각삼각형
① 좌변: (a+b+c)(a+b−c) → (a+b)와 c의 합·차 곱!
② 우변: (a−b+c)(−a+b+c) → 이것도 합·차 곱 형태!
③ 양변 모두 합차 공식 (X+Y)(X−Y) = X²−Y² 로 전개 가능!
④ 전개 후 정리하면 a²+b² = c² 같은 피타고라스 관계가 나올 수 있어요!
💡 핵심: 양변을 합차공식으로 전개 → 정리하면 삼각형 종류가 드러남!
📝 단계별 상세 풀이
좌변을 합차 공식으로 전개
(a+b+c)(a+b−c)
= {(a+b)+c}{(a+b)−c}
= (a+b)² − c²
= a² + 2ab + b² − c²
우변을 합차 공식으로 전개
(a−b+c)(−a+b+c)
= {c+(a−b)}{c−(a−b)}
= c² − (a−b)²
= c² − a² + 2ab − b²
💡 우변도 합차 공식! c를 중심으로 묶으면 c²−(a−b)² 형태가 돼요.
양변을 같다고 놓고 정리
a² + 2ab + b² − c² = c² − a² + 2ab − b²
양변에서 2ab를 빼면:
a² + b² − c² = c² − a² − b²
우변을 좌변으로 이항:
a² + b² − c² + a² + b² − c² = 0
2(a² + b²) − 2c² = 0
2(a² + b² − c²) = 0
∴ a² + b² = c²
삼각형 종류 판별
a² + b² = c² 이고 c = AB̄ 이므로
피타고라스 정리에 의해 ∠C = 90°
※ BC̄²+CĀ²=AB̄² → C의 대변이 빗변 → ∠C가 직각!
⚠️ 자주 틀리는 실수
우변의 합차 공식 묶기를 잘못하는 실수!
(a−b+c)(−a+b+c) = {c+(a−b)}{c−(a−b)} ✅
(a−b+c)(−a+b+c) = (a−b)²−c² ❌ (순서 반대!)
→ c를 X로, (a−b)를 Y로 놓으면: (X+Y)(X−Y) = X²−Y² = c²−(a−b)²
a²+b²=c²에서 직각의 위치를 잘못 판별!
a²+b² = c² → c가 빗변 → ∠C가 직각 ✅
a²+b² = c² → ∠A가 직각 ❌
→ 삼각형 ABC에서 c=AB̄는 ∠C의 대변이에요. 가장 긴 변의 대각이 직각!
변과 각의 대응 관계를 혼동!
BC̄ = a → ∠A의 대변
CĀ = b → ∠B의 대변
AB̄ = c → ∠C의 대변
🧠 외워두면 좋은 패턴
삼각형 세 변에 대한 등식이 주어지면:
1단계: 양변을 곱셈 공식(합차공식)으로 전개
2단계: 정리하여 a²+b²=c² 또는 a=b 같은 관계 도출
3단계: 삼각형 종류 판별
(a+b+c)(a+b−c) → (a+b)를 한 덩어리로 보기!
(a−b+c)(−a+b+c) → c를 한 덩어리로 보기!
→ 3개의 항 중 2개를 묶어서 합차 형태를 만들어요!
가장 큰 변(빗변)의 대각이 직각이에요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 합차 공식 묶기를 빠르게!
(a+b+c)(a+b−c) 형태를 보면 즉시 “(a+b)²−c²”을 떠올리세요.
② 양변 전개 후 2ab 소거!
양변에 2ab가 공통으로 나타나므로 빠르게 소거하면 정리가 쉬워요.
📸 해설 이미지
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