0089번 – (x+1)²으로 나눈 나머지에서
(x+1)³으로 나눈 나머지 구하기
나눗셈 등식의 “중첩 활용”으로 나머지를 업그레이드!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 P(x)를 (x+1)²으로 나누었을 때의 나머지가 2x²+ax+1이고,
(x+1)³으로 나누었을 때의 나머지가 x+b일 때,
상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: ④ 4
① (x+1)² 으로 나눈 나머지가 2x²+ax+1 → 나머지가 2차식이에요!
② 잠깐! (x+1)²은 2차식이니까 나머지는 1차 이하여야 하는데?
③ 2x²+ax+1은 2차식이라 나머지가 될 수 없어요! → 더 정리가 필요합니다.
④ (x+1)³ 으로 나누면 나머지는 2차 이하인데, x+b는 1차식이네요?
💡 핵심: 나머지를 다시 나누는 식으로 정리하면 a가 결정되고, 이를 이용해 b를 구해요!
P(x)를 (x+1)²으로 나눈 나머지가 2x²+ax+1이라는 것은:
P(x) = (x+1)² · Q(x) + 2x²+ax+1
이 등식에서 나머지 2x²+ax+1을 (x+1)²으로 다시 나눌 수 있어요!
그러면 P(x)를 (x+1)³으로 나눈 나머지도 구할 수 있습니다!
📝 단계별 상세 풀이
(x+1)²으로 나눈 등식 세우기
P(x) = (x+1)² · Q(x) + 2x² + ax + 1 … ⓐ
나머지 2x²+ax+1을 (x+1)²으로 정리하기
2x²+ax+1 을 (x+1)² 형태로 분해해 봅시다.
(x+1)² = x²+2x+1 이므로:
2x²+ax+1 = 2(x+1)² + (나머지 부분)
2(x+1)² = 2(x²+2x+1) = 2x²+4x+2
빼기: (2x²+ax+1) − (2x²+4x+2)
= (a−4)x − 1
따라서:
2x²+ax+1 = 2(x+1)² + (a−4)x − 1
ⓐ에 대입하여 P(x)를 (x+1)²으로 나눈 진짜 나머지 구하기
P(x) = (x+1)²Q(x) + 2(x+1)² + (a−4)x − 1
= (x+1)²{Q(x) + 2} + (a−4)x − 1
이제 (x+1)²으로 나눈 진짜 나머지는:
(a−4)x − 1 (1차 이하 ✅)
(x+1)³으로 나눈 나머지와 연결하기
P(x) = (x+1)²{Q(x)+2} + (a−4)x − 1
이제 {Q(x)+2}를 (x+1)로 나누면:
Q(x)+2 = (x+1)·S(x) + c (상수) 라 하면:
P(x) = (x+1)²{(x+1)S(x) + c} + (a−4)x − 1
= (x+1)³·S(x) + c(x+1)² + (a−4)x − 1
따라서 (x+1)³으로 나눈 나머지는:
c(x+1)² + (a−4)x − 1
이것이 x+b (1차식)가 되려면:
c = 0 (x+1)²의 계수가 0이어야 함!)
c = 0이면 나머지는 (a−4)x − 1 = x+b
a, b 값 구하기
(a−4)x − 1 = x + b 에서:
x의 계수: a − 4 = 1 → a = 5
상수항: −1 = b → b = −1
∴ a + b = 5 + (−1) = 4
⚠️ 자주 틀리는 실수
“2x²+ax+1이 나머지”라고 곧이곧대로 받아들이는 실수!
(x+1)²은 2차식이므로 나머지는 1차 이하여야 해요.
2x²+ax+1은 2차식 → 아직 완전히 나눠지지 않은 상태!
→ 2x²+ax+1을 (x+1)²으로 한 번 더 정리해야 진짜 나머지가 나와요.
2(x+1)² 전개에서 실수!
2(x+1)² = 2(x²+2x+1) = 2x²+4x+2 ✅
2(x+1)² = 2x²+2x+1 ❌ (분배를 잘못한 경우)
(x+1)³으로 나눈 나머지와 (x+1)²으로 나눈 나머지를 혼동!
(x+1)²으로 나눈 나머지 → 1차 이하
(x+1)³으로 나눈 나머지 → 2차 이하
→ 이 문제에서 (x+1)³ 나머지가 x+b(1차)인 건 c=0이라는 추가 조건 때문!
🧠 외워두면 좋은 패턴
P(x) = (x+1)²Q(x) + R(x) 에서
R(x)의 차수가 (x+1)²의 차수보다 크거나 같으면:
R(x)를 (x+1)²으로 다시 한번 정리해야 합니다!
→ “나머지가 나누는 식보다 차수가 높다?” → 한 번 더 나누기!
(x+α)² 으로 나누기 → 나머지 차수: 1차 이하
(x+α)³ 으로 나누기 → 나머지 차수: 2차 이하
(x+α)ⁿ 으로 나누기 → 나머지 차수: (n−1)차 이하
→ 나머지의 최대 차수 = (나누는 식의 차수) − 1
P(x) = (x+1)²Q(x) + R(x)
여기서 Q(x) = (x+1)S(x) + c 로 한번 더 나누면:
P(x) = (x+1)³S(x) + c(x+1)² + R(x)
→ 제곱을 세제곱으로 업그레이드하는 테크닉!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 6~7분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 30초 |
① “나머지 차수 > 나누는 식 차수” 즉시 감지!
2x²+ax+1(2차) > (x+1)²(2차) → “한번 더 정리해야 해!” 바로 인식하세요.
② 계수 비교는 빠르게!
(a−4)x−1 = x+b에서 계수 비교는 30초면 됩니다.
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 등식의 기본기를 다지세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 04. 다항식의 곱셈 (2)개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 ⭐ (핵심!) 개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 017. 인수정리 활용 개념사전 018. 조립제법 계산유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개