0088번 – ax+b로 나눈 결과를
x+b/a로 나눈 결과로 변환
0087번의 일반화! 나누는 식의 최고차항 계수 변환의 비밀
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (서술형 배점 포함)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
다항식 P(x)를 일차식 ax + b 로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때,
P(x)를 x + b/a 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. (단, a, b는 상수)
※ 난이도: ★★☆ (상) · 서술형 · 답: 몫 aQ(x), 나머지 R
① ax + b = a(x + b/a) → 두 나누는 식은 a배 관계!
② 이 문제는 0087번의 일반화예요. 0087번은 a=3인 특수한 경우!
③ 0087번에서 나누는 식을 3배 → 몫 ⅓배. 여기서는 나누는 식을 a배 → 몫 (1/a)배!
④ 하지만 이번에는 반대 방향: ax+b(큰 것) → x+b/a(작은 것)으로 변환!
💡 핵심: ax+b로 나눈 결과에서 x+b/a로 나눈 결과를 역추적!
이 문제는 0087번에서 배운 “나누는 식의 상수배”를 일반 문자 a로 확장하는 서술형 문제예요. 0087번의 원리를 잘 이해했다면 어렵지 않습니다!
📝 단계별 상세 풀이
ax + b 로 나눈 등식 세우기
배점 30%P(x)를 ax + b 로 나누면:
P(x) = (ax + b) · Q(x) + R … ⓐ
ax + b를 a(x + b/a)로 변형하기
배점 50%ax + b = a(x + b/a) 이므로, ⓐ에 대입하면:
P(x) = a(x + b/a) · Q(x) + R
= (x + b/a) · aQ(x) + R
💡 a를 Q(x) 쪽으로 옮겨서 (x+b/a)로 나누는 등식 완성!
x + b/a 로 나눈 몫과 나머지 읽기
배점 20%P(x) = (x + b/a) · aQ(x) + R
따라서 P(x)를 x + b/a 로 나누었을 때:
몫: aQ(x)
나머지: R
0087번 (구체적 예)
x−⅓ → 3x−1 (나누는 식 3배)
몫: ⅓Q(x)
나머지: R (그대로)
0088번 (일반화)
x+b/a → ax+b (나누는 식 a배)
몫: ⅟ₐQ(x)
나머지: R (그대로)
0088번은 역방향(ax+b → x+b/a)이므로 몫이 a배로 커져요!
⚠️ 자주 틀리는 실수
몫과 나머지를 반대로 변환하는 실수!
ax+b → x+b/a 로 변환할 때 (나누는 식이 1/a배로 줄어듦):
몫: a배로 커짐 ✅ 몫: ⅟ₐ배로 작아짐 ❌
→ 나누는 수가 작아지면 몫은 커져요! (12÷3=4 vs 12÷1=12 처럼!)
나머지까지 변한다고 생각하는 실수!
나누는 식이 변해도 나머지 R은 항상 그대로예요!
P(x) = (ax+b)Q(x)+R = (x+b/a)·aQ(x)+R → R은 건드리지 않음!
서술형에서 등식 변형 과정을 생략하는 실수!
서술형이므로 반드시 보여줘야 할 것:
① P(x) = (ax+b)Q(x)+R (출발 등식)
② ax+b = a(x+b/a) (핵심 변형)
③ P(x) = (x+b/a)·aQ(x)+R (도착 등식)
🧠 외워두면 좋은 패턴
정리하면:
| 나누는 식 | 몫 | 나머지 |
| ax + b | Q(x) | R |
| x + b/a | aQ(x) | R |
🔥 나누는 식의 최고차 계수가 a → 1로 바뀌면, 몫에 a가 곱해진다!
① x+b/a → ax+b (나누는 식 a배): 몫 ⅟ₐ배, 나머지 그대로
② ax+b → x+b/a (나누는 식 ⅟ₐ배): 몫 a배, 나머지 그대로
→ 어느 방향이든 “나누는 식 × 몫 = 일정”이 핵심!
모범 답안 구조:
P(x) = (ax+b)Q(x)+R 에서
ax+b = a(x+b/a) 이므로
P(x) = a(x+b/a)Q(x)+R = (x+b/a)·aQ(x)+R
따라서 P(x)를 x+b/a로 나누었을 때의 몫은 aQ(x), 나머지는 R이다.
→ 4줄이면 만점 답안!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 1분 | 1분 |
① 0087번 원리를 일반화해서 기억!
0087번(구체적)과 0088번(일반적)을 세트로 기억하면 변형 문제에 즉시 대응 가능!
② 등식 변형 3줄만 쓰면 끝!
P(x)=(ax+b)Q(x)+R → ax+b=a(x+b/a) → P(x)=(x+b/a)·aQ(x)+R
③ 나머지는 항상 그대로!
나머지가 변하지 않는다는 것을 확신하면 몫만 집중해서 구하면 돼요.
📸 해설 이미지
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