0087번 – 몫과 나머지의 변형
x−⅓ 과 3x−1의 관계
나누는 식을 상수배 했을 때 몫과 나머지는 어떻게 바뀔까?
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 P(x)를 x − ⅓ 로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때,
P(x)를 3x − 1 로 나누었을 때의 몫과 나머지를 차례대로 나열한 것은?
① ⅓Q(x), 3R ② ⅓Q(x), R ③ Q(x), R
④ 3Q(x), R ⑤ 3Q(x), ⅓R
※ 난이도: ★★☆ (중) · 대표 문제 · 답: ② ⅓Q(x), R
① 3x − 1 = 3(x − ⅓) → 두 나누는 식은 3배 관계!
② P(x)는 같은데, 나누는 식만 3배가 되면 → 몫과 나머지는 어떻게 변할까?
③ 나눗셈 등식을 세워서 비교하면 관계가 보여요!
💡 핵심: 나눗셈 등식 P(x) = (나누는 식)×(몫)+(나머지) 를 두 번 써서 비교!
이 문제는 유형 11의 대표 문제로, 나누는 식을 상수배 했을 때 몫과 나머지가 어떻게 변하는지를 묻는 문제예요. 나눗셈 등식의 변형을 이해하면 계산 없이도 답을 구할 수 있습니다!
📝 단계별 상세 풀이
x − ⅓ 로 나눈 등식 세우기
P(x)를 x − ⅓ 로 나누면:
P(x) = (x − ⅓) · Q(x) + R … ⓐ
3x − 1 = 3(x − ⅓) 관계 이용하기
ⓐ의 (x − ⅓)을 변형해 봅시다:
x − ⅓ = (3x − 1) · ⅓
이것을 ⓐ에 대입하면:
P(x) = (3x − 1) · ⅓ · Q(x) + R
= (3x − 1) · ⅓Q(x) + R
💡 (x−⅓)을 (3x−1)·⅓으로 바꾸면 몫에 ⅓이 곱해져요!
3x − 1 로 나눈 몫과 나머지 읽기
P(x) = (3x − 1) · ⅓Q(x) + R
이 등식에서:
몫 = ⅓Q(x)
나머지 = R (변하지 않음!)
⚠️ 자주 틀리는 실수
나머지도 변한다고 생각하는 실수!
나누는 식을 3배 해도 나머지는 변하지 않아요!
P(x) = (x−⅓)Q(x)+R = (3x−1)·⅓Q(x)+R
→ 나머지 R은 그대로! 변하는 건 몫뿐이에요.
몫이 3Q(x)가 된다고 착각하는 실수!
나누는 식이 3배 → 몫은 ⅓배가 돼요! (반비례)
직관적으로: 더 큰 수로 나누면 몫은 더 작아지잖아요? 같은 원리!
x − ⅓ 과 3x − 1 의 관계를 잘못 파악하는 실수!
3x − 1 = 3(x − ⅓) ✅
3x − 1 = 3x − ⅓ ❌
→ 3(x−⅓) = 3x−1 맞아요! 반드시 분배법칙으로 확인.
🧠 외워두면 좋은 패턴
P(x) = (x − α) · Q(x) + R 일 때,
x − α = (1/a)(ax − aα) 이므로:
🔥 나누는 식을 a배 하면 → 몫은 1/a배, 나머지는 그대로!
P(x) = (x − ⅓)Q(x) + R
= (3x−1) · ⅓Q(x) + R
변환 원리:
① x − ⅓ → (3x−1) × ⅓ 으로 분해
② ⅓이 Q(x)쪽으로 이동
③ 나머지 R은 건드리지 않음
P(x)를 3x−1로 나눈 몫이 S(x), 나머지가 T라면,
P(x)를 x−⅓로 나눈 몫은 3S(x), 나머지는 T
→ 역방향에서는 나누는 식이 ⅓배 → 몫은 3배!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 1분 | 30초~1분 |
① 패턴을 외우면 30초 문제!
“나누는 식 a배 → 몫 1/a배, 나머지 그대로”만 기억하면 계산 없이 답 선택!
② 등식 변형에 익숙해지세요!
나눗셈 등식을 자유자재로 변형할 수 있으면 이 유형은 어렵지 않아요.
📸 해설 이미지
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