0085번 – 나누어떨어질 조건으로
상수 a, b 구하기
x³−2x²+ax−3이 x²−x+b로 나누어떨어질 때 ab의 값
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
다항식 x³ − 2x² + ax − 3 이 x² − x + b 로 나누어떨어질 때,
상수 a, b에 대하여 ab의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (중상) · 서술형 · 답: ab = 12
① “나누어떨어진다” = 나머지가 0! → R(x) = 0 조건을 사용해요.
② 피제식(3차) ÷ 제식(2차) → 몫은 1차식(x+α)
③ 나눗셈을 실행하면 나머지에 a와 b가 포함돼요 → 나머지 = 0 조건으로 a, b를 구합니다!
💡 핵심: 나눗셈 실행 → 나머지가 0이 되는 조건 → a, b 결정!
이 문제는 “나누어떨어진다”는 조건을 활용하는 문제예요. 미지수가 포함된 나눗셈을 실행하고, 나머지가 0이 되려면 각 항의 계수가 모두 0이어야 한다는 조건에서 a와 b를 구합니다!
📝 단계별 상세 풀이
나눗셈 실행하기 (미지수 포함)
x³ − 2x² + ax − 3 을 x² − x + b 로 나눕니다.
x − 1
x²−x+b ) x³ − 2x² + ax − 3
x³ − x² + bx
――――――――――
−x² + (a−b)x − 3
−x² + x − b
――――――――――
(a−b−1)x + (−3+b)
나눗셈 과정 상세:
① x³ ÷ x² = x
x(x²−x+b) = x³−x²+bx
빼기: (x³−2x²+ax−3)−(x³−x²+bx) = −x²+(a−b)x−3
② −x² ÷ x² = −1
−1(x²−x+b) = −x²+x−b
빼기: (−x²+(a−b)x−3)−(−x²+x−b) = (a−b−1)x+(−3+b)
“나누어떨어진다” 조건 적용 (나머지 = 0)
나머지: (a−b−1)x + (−3+b) = 0
이것이 항등적으로 0이 되려면 (모든 x에 대해 0이려면):
x의 계수: a − b − 1 = 0 → a = b + 1 … ⓐ
상수항: −3 + b = 0 → b = 3 … ⓑ
a, b 값 구하고 ab 계산하기
ⓑ에서 b = 3
ⓐ에 대입하면: a = 3 + 1 = a = 4
∴ ab = 4 × 3 = 12
⚠️ 자주 틀리는 실수
나머지의 두 조건을 모두 세우지 않는 실수!
나머지가 (a−b−1)x+(−3+b) 일 때, x의 계수와 상수항 모두 0이어야 해요.
상수항만 0으로 놓거나, x의 계수만 0으로 놓으면 하나의 조건이 부족합니다!
첫 빼기에서 bx를 잊는 실수!
x(x²−x+b) = x³−x²+bx ← 이 bx를 빼먹으면 안 돼요!
→ 제식에 미지수 b가 있으므로, 곱할 때 bx 항이 나옵니다.
두 번째 빼기에서 −(−b) = +b 처리!
(−3) − (−b) = −3 + b ✅
(−3) − (−b) = −3 − b ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
나머지가 Ax + B = 0이 되려면:
A = 0 그리고 B = 0 (계수 비교!)
🔥 미지수가 2개면 조건식도 2개! 연립방정식으로 풀어요.
제식이나 피제식에 미지수가 있으면:
① 미지수를 문자 그대로 두고 나눗셈 진행
② 나머지에 미지수가 남음
③ 나머지 = 0 (또는 주어진 조건) 으로 미지수 결정
x³ ÷ x² = x이므로 몫의 첫 항은 항상 x.
그 다음 단계에서 −x² ÷ x² = −1이므로 몫의 둘째 항은 −1.
→ 몫: x − 1 (미지수에 관계없이 결정됨!)
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 30초 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 2분 |
① 미지수가 있어도 당황하지 마세요!
a, b를 문자 그대로 두고 나눗셈을 진행하면 됩니다. 숫자 나눗셈과 완전히 같아요.
② 상수항 조건부터 확인!
−3+b=0에서 b=3이 바로 나오고, 이걸 첫 번째 식에 대입하면 a도 바로 나와요.
📸 해설 이미지
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