0082번 – 다항식의 나눗셈
ab − cd 의 값 구하기
x³+x²−5x+4를 x²+2x−1로 나눈 몫과 나머지에서 상수 구하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (나눗셈 시각화)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 x³ + x² − 5x + 4 를 x² + 2x − 1 로 나누었을 때
몫이 ax + b 이고, 나머지가 cx + d 일 때,
상수 a, b, c, d에 대하여 ab − cd 의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: 5
이 문제의 핵심 단서를 짚어볼게요!
① 피제식: x³+x²−5x+4 → 3차식
② 제식: x²+2x−1 → 2차식
③ 3차 ÷ 2차 → 몫은 1차식(ax+b), 나머지는 1차 이하(cx+d)
④ 나눗셈을 직접 수행하여 a, b, c, d를 구해야 해요!
💡 0079번과 같은 유형! 긴 나눗셈을 정확하게 수행하는 것이 핵심!
이 문제는 0079번에서 배운 다항식의 긴 나눗셈을 다시 한번 연습하는 문제예요. 차수가 낮아서 나눗셈이 2단계면 끝나니까 차분하게 풀어보세요!
📝 단계별 상세 풀이
다항식의 긴 나눗셈 실행하기
x³ + x² − 5x + 4 를 x² + 2x − 1 로 나눕니다.
x − 1
x²+2x−1 ) x³ + x² − 5x + 4
x³ + 2x² − x
―――――――――
− x² − 4x + 4
− x² − 2x + 1
―――――――――
− 2x + 3
나눗셈 과정 상세 설명
① 첫 번째 몫 구하기:
x³ ÷ x² = x
② x × (x²+2x−1) = x³+2x²−x
③ 빼기:
(x³+x²−5x+4) − (x³+2x²−x)
= (1−2)x² + (−5+1)x + 4
= −x² − 4x + 4
④ 두 번째 몫 구하기:
−x² ÷ x² = −1
⑤ (−1) × (x²+2x−1) = −x²−2x+1
⑥ 빼기:
(−x²−4x+4) − (−x²−2x+1)
= (−4+2)x + (4−1)
= −2x + 3
💡 나머지 −2x+3은 1차식이고, 제식(2차)보다 차수가 낮으므로 나눗셈 완료!
a, b, c, d 확인하고 ab−cd 계산하기
몫 = x − 1 = ax + b
→ a = 1, b = −1
나머지 = −2x + 3 = cx + d
→ c = −2, d = 3
ab − cd
= (1)(−1) − (−2)(3)
= −1 − (−6)
= −1 + 6
= 5
(x²+2x−1)(x−1) + (−2x+3)
= x³−x²+2x²−2x−x+1−2x+3
= x³+x²−5x+4 ✅ 원래 식과 일치!
⚠️ 자주 틀리는 실수
빼기에서 부호 실수! (가장 흔한 실수)
(−x²−4x+4) − (−x²−2x+1)
= −x²−4x+4+x²+2x−1 (빼기 → 부호 전체 반전!)
= −2x+3 ✅
→ 빼는 식의 모든 항 부호를 바꿔야 해요! −x²→+x², −2x→+2x, +1→−1
ab − cd 계산에서 (−2)(3)의 부호!
cd = (−2)(3) = −6
ab − cd = −1 − (−6) = −1 + 6 = 5 ✅
ab − cd = −1 − 6 = −7 ❌ (−cd가 아니라 −(cd)예요!)
→ “빼기의 빼기는 더하기!” 부호를 꼼꼼히 처리하세요.
첫 빼기에서 x항 처리 실수!
x³+x²−5x+4 에서 x³+2x²−x를 빼면
x항: −5x−(−x) = −5x+x = −4x ✅
→ −5x에서 −x를 빼는 것이므로 −5x+x입니다!
🧠 외워두면 좋은 패턴
3차식을 2차식으로 나누면:
1단계: x³ ÷ x² = x (몫의 첫 항)
2단계: (남은 x²항) ÷ x² = 상수 (몫의 둘째 항)
→ 딱 2번만 나누면 끝! 복잡하지 않아요.
문제에서 “몫이 ax+b, 나머지가 cx+d”라고 할 때:
① 나눗셈 실행 → 몫과 나머지 구하기
② 계수 비교 → a, b, c, d 읽어내기
③ 요구하는 식 계산 → ab−cd, a+b+c+d 등
→ 나눗셈만 정확히 하면 나머지는 단순 계산!
빼기를 할 때 실수를 줄이는 방법:
“빼는 식의 부호를 먼저 다 바꾸고, 더하기로 계산!”
예: A − B = A + (−B)
−x²−4x+4 에서 −x²−2x+1을 빼기
= (−x²−4x+4) + (x²+2x−1) ← 부호 먼저 바꿈!
= −2x+3 ← 더하기로 계산!
→ 이 방법을 쓰면 부호 실수가 거의 사라져요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 나눗셈 배치를 정돈하세요!
차수별로 열을 맞춰 쓰면 빼기에서 실수가 줄고 속도가 올라요.
② 검산은 꼭 하되 빠르게!
(x²+2x−1)(x−1)+(−2x+3) = x³+x²−5x+4 인지 30초면 확인됩니다.
③ ab−cd 계산에서 부호 더블체크!
나눗셈은 맞았는데 마지막 계산에서 부호를 틀리면 너무 아까워요!
📸 해설 이미지
교재 해설을 이미지로 확인하세요.
📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 연산력을 키우세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 02. 다항식의 덧셈과 뺄셈개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 ⭐ (필수!) 개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 018. 조립제법 계산 개념사전 010. 다항식÷단항식 계산 개념사전 001. 다항식의 기본 용어유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개