0079번 – 다항식의 나눗셈
몫과 나머지 구하기
2x³−3x²+x−3을 x²−x−1로 나눈 몫 Q(x)와 나머지 R(x)
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (나눗셈 과정 시각화)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 2x³ − 3x² + x − 3 을 x² − x − 1 로 나누었을 때의
몫을 Q(x), 나머지를 R(x)라 할 때, Q(2) + R(1) 의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (중) · 대표 문제 · 답: 1
이 문제의 핵심 단서를 짚어볼게요!
① 피제식(나눠지는 식): 2x³−3x²+x−3 → 3차식
② 제식(나누는 식): x²−x−1 → 2차식
③ 3차 ÷ 2차 → 몫은 1차식, 나머지는 1차 이하(상수 또는 일차식)
④ Q(2)와 R(1)을 각각 구해야 하므로 → 다항식의 나눗셈을 직접 실행해야 해요!
💡 핵심: 나눗셈의 등식 → (피제식) = (제식) × (몫) + (나머지)
이 문제는 다항식의 나눗셈(긴 나눗셈, long division)을 정확하게 수행하는 능력을 테스트하는 대표 문제예요. 숫자의 나눗셈처럼 가장 높은 차수부터 맞춰가며 나누면 됩니다. 차근차근 따라해 보세요!
📝 단계별 상세 풀이
다항식의 긴 나눗셈 실행하기
2x³ − 3x² + x − 3 을 x² − x − 1 로 나눕니다.
2x − 1
x²−x−1 ) 2x³ − 3x² + x − 3
2x³ − 2x² − 2x
―――――――――
− x² + 3x − 3
− x² + x + 1
―――――――――
2x − 4
💡 나눗셈 과정을 자세히 살펴볼게요:
나눗셈 과정 상세 설명
① 첫 번째 몫 구하기:
2x³ ÷ x² = 2x (최고차항끼리 나누기)
② 2x × (x²−x−1) = 2x³ − 2x² − 2x
③ 빼기:
(2x³−3x²+x−3) − (2x³−2x²−2x)
= −x² + 3x − 3
④ 두 번째 몫 구하기:
−x² ÷ x² = −1
⑤ (−1) × (x²−x−1) = −x² + x + 1
⑥ 빼기:
(−x²+3x−3) − (−x²+x+1)
= 2x − 4
Q(x)와 R(x) 확인 후 대입하기
Q(x) = 2x − 1 (몫)
R(x) = 2x − 4 (나머지)
Q(2) = 2(2) − 1 = 4 − 1 = 3
R(1) = 2(1) − 4 = 2 − 4 = −2
∴ Q(2) + R(1) = 3 + (−2) = 1
(피제식) = (제식) × (몫) + (나머지) 가 성립하는지 확인!
(x²−x−1)(2x−1) + (2x−4)
= 2x³−x²−2x²+x−2x+1+2x−4
= 2x³−3x²+x−3 ✅ 원래 식과 일치!
⚠️ 자주 틀리는 실수
빼기에서 부호를 틀리는 실수!
(2x³−3x²+x−3) − (2x³−2x²−2x)
= 0 + (−3x²+2x²) + (x+2x) − 3
= −x² + 3x − 3 ✅
→ 빼기할 때 괄호 안의 모든 항의 부호를 뒤집어야 해요! 특히 −2x가 +2x로 바뀌는 것을 놓치지 마세요.
나머지의 차수 확인!
나누는 식이 2차식이면 나머지는 반드시 1차 이하(ax+b 또는 상수)여야 해요.
나머지가 2차 이상이면 나눗셈을 더 진행해야 합니다!
Q(2)와 R(1)에 대입할 때 부호 실수!
R(1) = 2(1) − 4 = −2 ✅ (양수가 아니에요!)
→ 대입 후 부호를 꼼꼼히 확인하세요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
A = B × Q + R
(피제식) = (제식) × (몫) + (나머지)
조건: R의 차수 < B의 차수 (나머지의 차수가 나누는 식보다 낮아야 함!)
🔥 이 등식은 검산에도, 나머지 정리에도, 인수 정리에도 모두 사용되는 기본 원리!
피제식이 n차, 제식이 m차일 때 (n ≥ m):
몫의 차수 = n − m
나머지의 차수 ≤ m − 1
예: 3차 ÷ 2차 → 몫: 1차, 나머지: 1차 이하
예: 4차 ÷ 2차 → 몫: 2차, 나머지: 1차 이하
① 최고차항끼리 나누기 → 몫의 한 항 결정
② 그 항 × 제식 → 빼기
③ 남은 식의 차수 확인 → 제식보다 낮으면 끝! 아니면 ①로 돌아가기
→ 숫자의 나눗셈과 완전히 같은 원리예요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 나눗셈 배치를 깔끔하게!
차수별로 열을 맞춰서 쓰면 빼기할 때 실수가 줄어들고 속도가 빨라져요.
② 최고차항 나누기만 집중!
각 단계에서 최고차항끼리 나누는 것에만 집중하세요. 나머지는 자동으로 따라옵니다.
③ 검산은 필수!
(제식)×(몫)+(나머지) = (피제식) 인지 빠르게 확인하세요. 1분이면 충분합니다.
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 연산력을 키우세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 02. 다항식의 덧셈과 뺄셈개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 ⭐ (필수!) 개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 개념사전 010. 다항식÷단항식 계산 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 017. 인수정리 활용 개념사전 018. 조립제법 계산유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개