0078번 – 세제곱 합차와 곱셈 공식
일의 자리의 숫자 구하기
(√5051+5050)³ − (√5051−5050)³ 을 5050으로 나눈 값의 일의 자리
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (서술형 배점 포함)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
다음 식의 일의 자리의 숫자를 구하시오.
{(√5051 + 5050)³ − (√5051 − 5050)³} / 5050
※ 난이도: ★★★ (상) · 서술형 · 답: 6
이 문제의 핵심 단서를 하나씩 짚어볼게요!
① (A+B)³ − (A−B)³ 형태 → 세제곱의 차 전개 공식이 적용돼요!
② √5051 = a, 5050 = b로 치환하면 식이 훨씬 깔끔해져요.
③ (a+b)³ − (a−b)³ 을 전개하면 6a²b + 2b³으로 정리됩니다.
④ “일의 자리의 숫자”만 구하면 되므로 → 전체 값을 다 계산할 필요 없이 일의 자리만 추적!
💡 핵심: 치환 → 공식 적용 → 일의 자리만 계산!
이 문제는 겉보기에 매우 복잡하지만, 치환을 통해 간단한 공식으로 바꾸고, 일의 자리만 추적하면 깔끔하게 풀립니다. √5051 같은 무리수가 있어도 당황하지 마세요. 공식을 적용하면 무리수가 사라집니다!
📝 단계별 상세 풀이
서술형 문제이므로 각 단계별 배점을 참고하세요!
치환하여 식 정리하기
배점 60%√5051 = a, 5050 = b 로 놓으면
주어진 식 = {(a+b)³ − (a−b)³} / b
(a+b)³ − (a−b)³을 전개해 볼게요:
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
둘을 빼면:
(a+b)³ − (a−b)³ = 6a²b + 2b³
※ a³끼리 상쇄, 3ab²끼리 상쇄, 3a²b는 2배, b³도 2배가 돼요!
b로 나누기
(6a²b + 2b³) / b = 6a² + 2b²
a = √5051 이므로 a² = 5051
b = 5050 이므로 b² = 5050²
∴ 주어진 식 = 6 × 5051 + 2 × 5050²
💡 √5051이 제곱되어 무리수가 깔끔하게 사라졌어요!
일의 자리의 숫자만 추적하기
배점 40%6 × 5051의 일의 자리:
→ 5051의 일의 자리 = 1, 6 × 1 = 6
2 × 5050²의 일의 자리:
→ 5050의 일의 자리 = 0, 0² = 0, 2 × 0 = 0
따라서 전체 일의 자리:
6 + 0 = 6
💡 전체 값을 계산하지 않아도 일의 자리만 추적하면 됩니다!
⚠️ 자주 틀리는 실수
(a+b)³ − (a−b)³ 전개에서 항을 잘못 소거하는 실수!
전개 후 빼기를 하면:
a³ 끼리 상쇄 ✅, 3ab² 끼리 상쇄 ✅
3a²b는 + + → 6a²b ✅, b³은 + − → 2b³ 이 아니라… 부호 잘 확인!
+b³ − (−b³) = 2b³ ✅
→ 빼기할 때 (a−b)³의 부호 전체를 뒤집어야 해요!
√5051을 제곱하지 않고 그대로 두는 실수!
6a² = 6 × (√5051)² = 6 × 5051 ✅
6a² = 6 × √5051 ❌ (a²이지 a가 아닙니다!)
전체 값을 직접 계산하려는 실수!
6 × 5051 = 30306, 2 × 5050² = 51005000 → 합 = 51035306
이렇게 다 계산해도 되지만 시간 낭비예요!
→ “일의 자리”만 물어봤으므로 일의 자리만 추적하세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
(a+b)³ − (a−b)³ = 6a²b + 2b³
마찬가지로:
(a+b)³ + (a−b)³ = 2a³ + 6ab²
🔥 (a+b)³과 (a−b)³의 합/차가 나오면 이 공식을 바로 적용!
빼면: “홀수항(ab 포함)”만 남고, 더하면: “짝수항(a³, ab²)”만 남아요.
√N이 포함된 복잡한 식에서:
√N = a로 치환 → 공식 적용 → a²을 계산할 때 (√N)² = N으로 무리수 소멸!
→ 이 문제처럼 √5051이 있어도 제곱하면 5051이 되어 깔끔하게 정리돼요!
곱셈에서 일의 자리는 각 수의 일의 자리끼리만 곱하면 됩니다!
예: 6 × 5051 → 6 × 1 = 6 (일의 자리 = 6)
예: 2 × 5050² → 0² = 0, 2 × 0 = 0 (일의 자리 = 0)
→ “일의 자리” 문제에서는 전체를 계산하지 말고 일의 자리만 추적!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 6~8분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
① 치환을 빠르게!
√5051=a, 5050=b로 놓는 순간 복잡한 식이 (a+b)³−(a−b)³ 형태로 바뀌어요. 치환이 곧 풀이의 50%!
② (a+b)³−(a−b)³ = 6a²b+2b³ 을 외워두세요!
매번 전개하지 않고 공식으로 바로 적용하면 1분 이상 절약됩니다.
③ 일의 자리만 구하라면 끝자리만!
전체 값을 계산하는 실수를 하지 마세요. 일의 자리 × 일의 자리만 하면 됩니다.
📸 해설 이미지
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