0077번 – 곱셈 공식을 이용한
수의 계산
198² + 299 × 301 이 몇 자리 자연수인지 구하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
198² + 299 × 301 이 n자리 자연수일 때, n의 값은?
① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9
※ 난이도: ★☆☆ (중) · 답: ② 6
이 문제의 핵심 단서를 찾아볼게요!
① 198 = 200 − 2 → 깔끔한 수(200)에 가까워요! (a−b)² 공식 적용 가능!
② 299 × 301 = (300−1)(300+1) → 합차 공식 (a−b)(a+b) = a²−b² 적용 가능!
③ “몇 자리 수인지” 물어보고 있으므로 → 실제 값을 정확히 계산해야 해요.
💡 복잡한 수를 직접 곱하지 말고, 가까운 “깔끔한 수”로 분해하는 것이 핵심!
이 문제는 큰 수의 계산을 곱셈 공식으로 깔끔하게 처리하는 문제예요. 198이나 299 같은 수를 보면 “200에 가깝다”, “300에 가깝다”를 즉시 떠올려야 합니다. 계산기 없이도 곱셈 공식만으로 정확한 값을 구할 수 있어요!
📝 단계별 상세 풀이
198²을 곱셈 공식으로 계산하기
198² = (200 − 2)²
완전제곱식 공식: (a−b)² = a² − 2ab + b²
= 200² − 2 × 200 × 2 + 2²
= 40000 − 800 + 4
= 39204
299 × 301을 합차 공식으로 계산하기
299 × 301 = (300 − 1)(300 + 1)
합차 공식: (a−b)(a+b) = a² − b²
= 300² − 1²
= 90000 − 1
= 89999
두 결과를 더하고 자릿수 확인하기
198² + 299 × 301
= 39204 + 89999
= 129203
129203은 6자리 자연수이므로
n = 6
💡 100000 ≤ 129203 ≤ 999999 이므로 6자리!
⚠️ 자주 틀리는 실수
(200−2)² 에서 중간항을 빠뜨리는 실수!
(200−2)² = 200² − 2×200×2 + 2² ✅
(200−2)² = 200² + 2² ❌ (중간항 −800 빠짐!)
→ (a−b)²에서 중간항 −2ab를 절대 빼먹지 마세요!
덧셈 계산 실수!
39204 + 89999 = 129203 ✅
→ 덧셈은 일의 자리부터 차근차근! 받아올림을 놓치지 마세요.
자릿수 세기 실수!
129203 → 1, 2, 9, 2, 0, 3 → 6자리 ✅
→ 자릿수를 셀 때는 가장 왼쪽 숫자부터 하나씩 세세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
큰 수의 제곱이나 곱셈이 나오면, 가장 가까운 10의 거듭제곱으로 분해!
198 = 200−2, 203 = 200+3
299 = 300−1, 301 = 300+1
997 = 1000−3, 1003 = 1000+3
→ 이렇게 분해하면 곱셈 공식이 바로 적용돼요!
5자리: 10000 ~ 99999
6자리: 100000 ~ 999999
7자리: 1000000 ~ 9999999
→ n자리 수의 범위: 10ⁿ⁻¹ ≤ 수 < 10ⁿ
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a−b)² = a² − 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a² − b²
→ 이 세 가지는 수의 계산 문제에서 항상 등장합니다!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 1분 | 1분 |
① 수를 보자마자 “깔끔한 수” 분해!
198→200−2, 299→300−1, 301→300+1 이 분해가 즉시 나와야 해요.
② 곱셈 공식 적용 후 덧셈은 신중하게!
공식 적용은 빠르게, 마지막 덧셈은 꼼꼼하게. 받아올림에서 실수하면 자릿수가 바뀔 수 있어요.
③ 대략적 크기를 먼저 어림하세요!
200²=40000, 300²=90000 → 합은 약 130000 → 6자리! 어림으로 먼저 확인하고 정확히 계산하면 안심이에요.
📸 해설 이미지
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