0076번 – 곱셈 공식을 이용한 수의 계산
2¹⁶을 a로 나타내기
(1+1/2)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸)에 (1−1/2)를 곱하는 테크닉!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다음과 같이 a가 정의되어 있을 때:
a = (1 + 1/2)(1 + 1/2²)(1 + 1/2⁴)(1 + 1/2⁸)
2¹⁶ 을 a를 이용하여 나타내면?
① 1/(2−a) ② 2/(2−a) ③ 3/(2−a) ④ 1/(a−2) ⑤ 2/(a−2)
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: ② 2/(2−a)
이 문제의 핵심 단서를 찾아볼게요!
① a에 (1+1/2), (1+1/2²), (1+1/2⁴), (1+1/2⁸) 이 곱해져 있어요 → 0075번에서 본 “합차 연쇄” 구조!
② 하지만 (1−1/2) 부분이 없어요! → 합차 공식을 쓰려면 (a−b) 부분이 필요한데…
③ 그래서 핵심 테크닉: 양변에 (1−1/2)을 곱해서 합차 연쇄를 완성시킨다!
💡 “없는 조각을 직접 곱해 넣고, 나중에 보상하는” 테크닉이에요!
이 문제는 0075번의 한 단계 업그레이드 버전이에요! 0075번에서는 (a−1)이 이미 주어져 있었지만, 여기서는 없는 (1−1/2)를 직접 양변에 곱해 넣는 발상이 필요합니다. 이 테크닉을 익혀두면 비슷한 문제를 자유자재로 풀 수 있어요!
📝 단계별 상세 풀이
양변에 (1 − 1/2) 곱하기
a에 (1 − 1/2)를 곱합니다:
(1 − 1/2) · a = (1−1/2)(1+1/2)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸)
→ 이제 0075번처럼 (a−b)(a+b) 합차 연쇄가 가능해졌어요!
합차 공식 연쇄 적용!
(1−1/2)(1+1/2) = 1 − 1/2² = 1 − 1/4
(1−1/2²)(1+1/2²) = 1 − 1/2⁴ = 1 − 1/16
(1−1/2⁴)(1+1/2⁴) = 1 − 1/2⁸ = 1 − 1/256
(1−1/2⁸)(1+1/2⁸) = 1 − 1/2¹⁶
따라서:
(1 − 1/2) · a = 1 − 1/2¹⁶
💡 지수가 1→2→4→8→16으로 2배씩 올라가며 도미노처럼 소멸!
정리하여 2¹⁶ 구하기
(1 − 1/2) · a = 1 − 1/2¹⁶
1/2 · a = 1 − 1/2¹⁶
우변을 정리하면:
a/2 = (2¹⁶ − 1) / 2¹⁶
양변에 2¹⁶을 곱하면:
a · 2¹⁶ / 2 = 2¹⁶ − 1
a · 2¹⁵ = 2¹⁶ − 1
다른 방법으로, 처음부터 깔끔하게 정리하면:
a/2 = 1 − 1/2¹⁶
1/2¹⁶ = 1 − a/2 = (2−a)/2
따라서: 2¹⁶ = 2/(2−a)
⚠️ 자주 틀리는 실수
(1−1/2)를 곱해야 하는 아이디어를 떠올리지 못함!
(1+1/2)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸) → “합차 공식을 쓰고 싶은데 (1−1/2)가 없네?”
→ 없으면 직접 곱하고, 나중에 나눠서 보상하면 됩니다! 이것이 이 문제의 핵심 발상이에요.
최종 정리에서 역수 관계를 헷갈리는 실수!
1/2¹⁶ = (2−a)/2 이므로
2¹⁶ = 2/(2−a) ✅
2¹⁶ = (2−a)/2 ❌ (이건 1/2¹⁶ 이에요!)
→ 역수 관계를 뒤집을 때 분자·분모가 바뀝니다!
2−a 와 a−2 부호 혼동!
a = (1+1/2)(1+1/2²)(1+1/2⁴)(1+1/2⁸) 는 1보다 큰 값이지만 2보다는 작아요.
따라서 2 − a > 0 ✅ a − 2 < 0 (음수가 됨)
→ 2¹⁶은 양수이므로 분모도 양수인 2−a가 맞아요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
(1+a)(1+a²)(1+a⁴)…(1+a²ⁿ) 형태가 나오면:
→ 양변에 (1−a)를 곱하면 합차 연쇄가 시작돼요!
→ (1−a)(1+a)(1+a²)…(1+a²ⁿ) = 1 − a²⁽ⁿ⁺¹⁾
🔥 이 테크닉은 시험에 정말 자주 나와요! “곱만 있고 빼기가 없다” 싶으면 직접 곱해 넣으세요!
0075번: (a−1)이 처음부터 있음 → 바로 합차 연쇄 적용
0076번: (1−a)이 없음 → 직접 곱해 넣고 나중에 처리
→ 구조는 같지만 “없는 조각을 만드는 발상”이 추가된 것!
마지막에 “1/2¹⁶ = 어떤 식”이 나오면:
2¹⁶ = 1 / (어떤 식) 으로 뒤집어야 해요.
예: 1/2¹⁶ = (2−a)/2 → 2¹⁶ = 2/(2−a)
→ 분수를 뒤집으면 분자↔분모 교환!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① “(1+a)의 연쇄 곱” 패턴을 즉시 인식!
(1+1/2)(1+1/4)(1+1/16)… 이런 구조가 보이면 바로 “(1−1/2)를 곱해야겠다!” 가 나와야 해요.
② 중간 과정 생략 가능!
합차 연쇄의 결과는 항상 같은 패턴이에요: (1−a) · 곱 = 1−a^(마지막 지수의 2배). 중간 단계를 모두 쓸 필요 없이 결과만 바로 적으세요.
③ 마지막 역수 변환은 차분하게!
가장 실수가 많은 구간이에요. 1/2¹⁶ = (2−a)/2 → 2¹⁶ = 2/(2−a) 이 과정만 신중하게!
📸 해설 이미지
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