0073번 – 곱셈 공식의 변형
1/a² + 1/b² + 1/c² 값 구하기
세 조건에서 abc를 구하고 역수 제곱의 합 계산하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (서술형 배점 포함)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
세 수 a, b, c에 대해 다음 세 조건이 주어져 있을 때:
a + b + c = 4, 1/a + 1/b + 1/c = 5/2, a² + b² + c² = 6
1/a² + 1/b² + 1/c² 의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 서술형 · 답: 9/4
이 문제의 핵심 단서를 단계별로 짚어볼게요!
① 1/a² + 1/b² + 1/c²을 통분하면 (a²b² + b²c² + c²a²) / (abc)² 형태가 돼요.
② 분자인 a²b² + b²c² + c²a²는 (ab+bc+ca)² − 2abc(a+b+c)로 바꿀 수 있어요!
③ 조건에서 a+b+c=4, a²+b²+c²=6이 있으니 → ab+bc+ca를 먼저 구할 수 있어요.
④ 1/a+1/b+1/c = (ab+bc+ca)/abc = 5/2 이므로 → abc도 구할 수 있어요!
💡 즉, 이 문제의 전략: ab+bc+ca 구하기 → abc 구하기 → 1/a²+1/b²+1/c² 계산!
이 문제는 0071번, 0072번에서 배운 대칭식 기법의 종합판이에요! 세 대칭식(a+b+c, ab+bc+ca, abc)을 모두 구한 다음, 역수의 제곱합이라는 복잡한 식까지 처리하는 고난도 문제입니다. 하지만 단계별로 차근차근 따라가면 충분히 풀 수 있어요!
📝 단계별 상세 풀이
이 문제는 서술형이므로, 각 단계별 배점을 함께 표시했어요. 부분 점수를 노리려면 중간 과정을 꼭 적어야 합니다!
ab + bc + ca 구하기
배점 30%(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
4² = 6 + 2(ab + bc + ca)
16 = 6 + 2(ab + bc + ca)
2(ab + bc + ca) = 10
∴ ab + bc + ca = 5
💡 0071번에서 배운 똑같은 공식이에요! 이제 익숙하죠?
abc 구하기
배점 20%조건: 1/a + 1/b + 1/c = 5/2
통분하면: (ab + bc + ca) / abc = 5/2
5 / abc = 5/2
∴ abc = 2
💡 역수의 합 조건 → 통분 → abc 추출! 아름답게 연결되죠?
1/a² + 1/b² + 1/c² 를 대칭식으로 변환
배점 30%1/a² + 1/b² + 1/c² = (a²b² + b²c² + c²a²) / (abc)²
분자를 정리하면:
a²b² + b²c² + c²a² = (ab + bc + ca)² − 2abc(a + b + c)
※ (ab+bc+ca)²을 전개하면 a²b²+b²c²+c²a² + 2abc(a+b+c)이므로, 이항하면 위 공식이 됩니다!
값 대입하여 최종 답 계산
배점 20%분자: (ab+bc+ca)² − 2abc(a+b+c)
= 5² − 2 · 2 · 4
= 25 − 16 = 9
분모: (abc)² = 2² = 4
∴ 1/a² + 1/b² + 1/c² = 9/4
⚠️ 자주 틀리는 실수
(ab+bc+ca)² 전개를 잘못 쓰는 경우!
(ab+bc+ca)² = a²b² + b²c² + c²a² + 2abc(a+b+c) ✅
→ 교차항이 2ab·bc + 2bc·ca + 2ca·ab = 2abc(a+b+c) 임을 잘 기억하세요!
abc를 구할 때 분자·분모를 뒤바꾸는 실수!
(ab+bc+ca)/abc = 5/2 에서
abc = (ab+bc+ca) × 2/5 ❌
abc = (ab+bc+ca) ÷ (5/2) = 5 × 2/5 = 2 ✅
→ 비례식을 세워서 차분하게 구하세요!
서술형에서 중간 과정 생략!
ab+bc+ca = 5, abc = 2 를 구하는 과정을 반드시 쓰세요. 결과만 적으면 부분 점수를 잃습니다!
🧠 외워두면 좋은 패턴
(ab+bc+ca)² = a²b²+b²c²+c²a² + 2abc(a+b+c)
→ a²b²+b²c²+c²a² = (ab+bc+ca)² − 2abc(a+b+c)
→ (ab+bc+ca)²을 전개하면 “제곱항 + 교차항” 으로 나뉘는데, 교차항이 2abc(a+b+c)가 되는 거예요!
1/a² + 1/b² + 1/c² = (a²b²+b²c²+c²a²) / (abc)²
→ 역수의 합 = (ab+bc+ca)/abc와 같은 원리! 통분하면 분자·분모가 대칭식으로!
1단계: a+b+c 확인
2단계: (a+b+c)² 전개로 ab+bc+ca 구하기
3단계: 역수의 합 조건이 있다면 abc 구하기
4단계: 필요한 대칭식을 위 세 값으로 표현하여 계산
→ 이 로드맵을 따르면 어떤 대칭식 문제든 풀 수 있습니다!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 6~7분 | 3~4분 | 3분 30초 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 30초 |
① “3총사 순서”를 자동화하세요!
a+b+c → ab+bc+ca → abc 순서로 구하는 것을 반사적으로 실행하면 방향 잡는 시간이 0에 가까워져요.
② (ab+bc+ca)² 전개를 한 줄로!
이 공식을 손에 익혀서 a²b²+b²c²+c²a² = (ab+bc+ca)² − 2abc(a+b+c)를 바로 쓸 수 있으면 1분 이상 절약됩니다.
③ 서술형이라면 풀이를 미리 구조화!
① ab+bc+ca 구하기 → ② abc 구하기 → ③ 대입 계산 순서로 답안지를 미리 나누고 시작하세요.
📸 해설 이미지
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