0072번 – 곱셈 공식의 변형
a³ + b³ + c³ 값 구하기
√2가 포함된 대칭식 조건에서 세제곱의 합 계산
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
세 수 a, b, c에 대해 다음 세 조건이 주어져 있을 때:
a + b + c = √2, ab + bc + ca = −1/2, abc = −√2/2
a³ + b³ + c³ 의 값은?
※ 난이도: ★★☆ (중) · 답: ④ 2√2
이 문제의 단서를 하나씩 짚어볼게요!
① a+b+c, ab+bc+ca, abc 세 가지가 모두 주어짐 → 세 대칭식 3총사가 완벽히 갖춰져 있어요!
② a³+b³+c³을 구하라 → 세제곱의 합 공식이 필요해요!
③ a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca) + 3abc 공식을 쓰면 되는데, 이 공식에 필요한 값은 a²+b²+c²뿐이에요.
④ a²+b²+c²는 0071번에서 배운 (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)로 구합니다!
이 문제는 0071번의 연장선에 있는 문제예요. 0071번에서 ab+bc+ca를 구하는 법을 배웠다면, 이번에는 한 걸음 더 나아가 a³+b³+c³를 구하는 공식까지 익히는 거예요. 이 두 문제를 함께 마스터하면 세 수의 대칭식 문제는 완벽!
📝 단계별 상세 풀이
a² + b² + c² 구하기
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
(√2)² = a² + b² + c² + 2 × (−1/2)
2 = a² + b² + c² + (−1)
2 = a² + b² + c² − 1
∴ a² + b² + c² = 3
💡 0071번에서 배운 똑같은 방법이에요! (a+b+c)² 전개 공식 하나로 끝!
a³ + b³ + c³ 공식 적용하기
핵심 공식:
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca) + 3abc
이 공식이 왜 성립하는지 궁금하다면?
→ a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)를 이항한 것이에요!
값 대입하여 계산하기
a³ + b³ + c³
= (a+b+c)(a²+b²+c² − ab−bc−ca) + 3abc
= √2 × (3 − (−1/2)) + 3 × (−√2/2)
= √2 × (3 + 1/2) + (−3√2/2)
= √2 × 7/2 − 3√2/2
= 7√2/2 − 3√2/2
= 4√2/2
= 2√2
💡 “a²+b²+c² − ab−bc−ca” 에서 빼기를 할 때 부호 주의! −(−1/2) = +1/2 입니다!
⚠️ 자주 틀리는 실수
“a²+b²+c² − ab−bc−ca” 에서 부호 실수!
ab+bc+ca = −1/2 이므로
a²+b²+c² − (ab+bc+ca) = 3 − (−1/2) = 3 + 1/2 = 7/2 ✅
3 − 1/2 = 5/2 ❌ (음수를 빼는 것을 잊으면 안 돼요!)
a³+b³+c³ 공식에서 3abc를 빠뜨리는 실수!
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) + 3abc ✅
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) ❌ (3abc 빠짐!)
→ 마지막에 “+3abc” 더하는 것을 절대 잊지 마세요!
√2 곱셈 계산 실수!
√2 × 7/2 = 7√2/2 ✅ (√2 × 7 = 7√2가 아니라, 2로 나눈 것도 반영!)
→ 분수와 루트가 동시에 나올 때는 천천히 단계별로 계산하세요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab − bc − ca)
이것을 이항하면:
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c² − ab − bc − ca) + 3abc
🔥 이 공식은 시험에 정말 자주 나와요! 반드시 외우세요!
조건으로 주어지는 것: a+b+c, ab+bc+ca, abc
→ a²+b²+c² 구하기: (a+b+c)² − 2(ab+bc+ca)
→ a³+b³+c³ 구하기: 위 공식에 대입
→ 이 흐름을 반복 연습하면 어떤 대칭식 문제도 자동으로 풀려요!
만약 a+b+c = 0 이면:
a³+b³+c³ = 3abc (매우 간단해짐!)
→ 시험에서 a+b+c=0 조건이 보이면 세제곱의 합은 3abc로 바로 가세요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① a²+b²+c² 구하기를 한 줄로 끝내세요!
(a+b+c)² − 2(ab+bc+ca) = a²+b²+c² 이 공식을 머릿속에서 바로 계산할 수 있으면 시간을 크게 절약합니다.
② a³+b³+c³ 공식의 괄호 안쪽을 미리 정리하세요!
a²+b²+c² − ab−bc−ca = a²+b²+c² − (ab+bc+ca) 이므로, 구한 값을 바로 빼면 됩니다.
③ √2 포함 분수 계산은 마지막에 한꺼번에!
중간 과정에서 분수로 남겨두고, 마지막에 통분해서 정리하면 실수가 줄어요.
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
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