쎈 공통수학1 0053번 풀이
x⁸=30일 때, (x−1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)의 값
유형 03 · 곱셈공식을 이용한 다항식의 전개 난이도 ⭐⭐중상📋 이 포스팅에 포함된 내용
- 풀이 영상 (동영상 해설)
- 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
- 문제 분석 및 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 꿀팁: 외워두면 좋은 패턴
- 흔한 실수 & 주의사항
- 시간 관리 전략
- 관련 개념 및 추천 링크
🎬 풀이 영상
합차공식을 연쇄적으로 사용하는 핵심 테크닉! 영상으로 먼저 확인하세요.
🔍 문제 분석 — 단서 찾기
x⁸ = 30일 때, (x−1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)의 값은?
🔑 핵심 단서 포인트
📝 단계별 상세 풀이
Step 1. 합차공식 첫 번째 적용
(x−1)(x+1)에 합차공식을 적용하면:
이제 식이 (x²−1)(x²+1)(x⁴+1)이 됐어요!
Step 2. 합차공식 두 번째 적용
(x²−1)(x²+1)에 다시 합차공식을 적용하면:
이제 식이 (x⁴−1)(x⁴+1)이 됐어요!
Step 3. 합차공식 세 번째 적용
(x⁴−1)(x⁴+1)에 또다시 합차공식을 적용하면:
Step 4. 조건 대입
x⁸ = 30이므로:
📸 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
아래 이미지에서 0053번 풀이를 직접 확인해 보세요.
🍯 꿀팁 & 외워두면 좋은 패턴
합차공식 연쇄 적용 패턴 — 반드시 외우세요!
(x−1)(x+1) = x² − 1
(x−1)(x+1)(x²+1) = x⁴ − 1
(x−1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1) = x⁸ − 1
(x−1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)(x⁸+1) = x¹⁶ − 1
🔥 핵심 규칙: 차수가 2배씩 올라가면서 결과는 항상 xⁿ − 1 형태!
🔥 맨 앞의 (x−1)이 있어야 이 패턴이 성립해요!
이 패턴을 알아보는 신호
문제에서 이런 형태가 보이면 즉시 합차공식 연쇄 적용을 떠올리세요:
· 괄호 안의 차수가 1, 2, 4, 8, …으로 2배씩 증가
· 모든 괄호가 +1이고, 맨 앞만 −1
· 조건으로 x의 높은 거듭제곱 값이 주어짐
일반화 — 왜 이렇게 되는 걸까?
합차공식 (A−B)(A+B) = A²−B²를 반복 적용하는 거예요:
매번 앞의 결과가 (□² − 1) 형태가 되고, 다음 괄호 (□² + 1)과 합차공식이 또 성립!
이렇게 “−1″이 끝까지 살아남아 최종 결과가 xⁿ − 1이 돼요.
⚠️ 흔한 실수 & 주의사항
실수 1: 합차공식 연쇄를 모르고 전부 전개하려는 경우
4개의 괄호를 하나하나 전개하면 시간이 엄청 오래 걸리고 실수 확률도 높아져요. 합차공식 연쇄 패턴을 알면 3초면 끝!
실수 2: 최종 결과에서 −1을 빼먹는 경우
x⁸ − 1인데, −1을 깜빡하고 x⁸ = 30을 그대로 답으로 쓰는 실수가 있어요. 꼭 −1을 빼주세요!
실수 3: (x+1)이 맨 앞인데 (x−1)로 착각
만약 문제가 (x+1)(x+1)(x²+1)⋯처럼 모두 +라면 이 패턴이 성립하지 않아요. 반드시 (x−1)이 포함되어 있는지 확인하세요!
⏱️ 시간 관리 전략
목표 풀이 시간
내신 시험: 1~2분 (패턴을 알면 30초 컷!)
수능/모의고사: 30초~1분
시간을 줄이려면?
📚 더 공부하기 — 추천 순서
📝 연산 워크시트 (기초 다지기)
공통수학1 연산 05. 곱셈 공식 (1) 공통수학1 연산 06. 곱셈 공식 (2) 공통수학1 연산 07. 곱셈 공식의 변형 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1)📖 관련 개념 포스트
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💪 합차공식 연쇄 적용은 시험에 정말 자주 나와요!
“차수 2배씩 → 결과 xⁿ−1” 이 패턴 하나로 여러 문제를 순삭할 수 있어요! 화이팅! 🎯