쎈 공통수학1 0051번 풀이
(x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+10) 전개식에서 x⁹의 계수
유형 02 · 전개식에서 계수 구하기 난이도 ⭐⭐상📋 이 포스팅에 포함된 내용
- 풀이 영상 (동영상 해설)
- 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
- 문제 분석 및 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 꿀팁: 외워두면 좋은 패턴
- 흔한 실수 & 주의사항
- 시간 관리 전략
- 관련 개념 및 추천 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 전체 흐름을 파악한 뒤, 아래 상세 풀이로 복습하면 효과가 배가 돼요!
🔍 문제 분석 — 단서 찾기
다항식 (x+1)(x+2)(x+3)⋯(x+10)의 전개식에서 x⁹의 계수를 구하시오.
🔑 핵심 단서 포인트
📝 단계별 상세 풀이
Step 1. x⁹항이 만들어지는 원리 이해하기
10개의 괄호 (x+1)(x+2)⋯(x+10)에서 각 괄호마다 x 또는 상수(숫자) 중 하나를 선택해 곱합니다.
나머지 1개에서 상수를 선택 → 그 상수가 계수에 기여
Step 2. 가능한 경우 나열하기
상수를 고르는 괄호가 (x+k)이면, 그 괄호에서 k를 선택하고 나머지 9개에서 x를 선택해요.
이렇게 하면 해당 경우의 x⁹항은 k · x⁹이 됩니다.
(x+2)에서 2를 고르면 → 2 · x⁹
(x+3)에서 3을 고르면 → 3 · x⁹
⋮
(x+10)에서 10을 고르면 → 10 · x⁹
Step 3. 계수 합산하기
1부터 n까지의 합 공식
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n+1)/2
여기서 n = 10이므로: 10 × 11 / 2 = 55 ✅
📸 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
아래 이미지에서 0051번 풀이를 직접 확인해 보세요.
🍯 꿀팁 & 외워두면 좋은 패턴
일차식 n개의 곱에서 x^(n-1)의 계수 = 상수들의 합!
(x+a₁)(x+a₂)⋯(x+aₙ)의 전개식에서:
→ xⁿ⁻¹의 계수 = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ (상수들의 총합)
→ xⁿ의 계수 = 1 (최고차항)
🔥 이 패턴만 알면 이 유형은 즉시 해결!
더 나아가서 — x^(n-2)의 계수는?
2개의 괄호에서 상수를 고르는 경우이므로:
xⁿ⁻²의 계수 = 상수들 중 2개를 골라 곱한 것들의 합
예: a₁a₂ + a₁a₃ + ⋯ + aₙ₋₁aₙ
(심화 내용이니 참고만 하세요!)
빠른 풀이의 핵심 — “몇 개에서 상수를 고르느냐”
이 문제 유형을 만나면 이렇게 생각하세요:
1) 괄호가 총 몇 개인지 세기 → 10개
2) 원하는 차수가 몇인지 확인 → x⁹
3) 상수를 고르는 괄호 수 = 10 − 9 = 1개
4) 1개에서 상수를 고르는 모든 경우의 합 → 1+2+⋯+10 = 55
⚠️ 흔한 실수 & 주의사항
실수 1: 등차수열의 합 계산 실수
1+2+⋯+10을 암산할 때, 10×11/2 = 55를 50이나 45로 잘못 계산하는 경우가 있어요. 공식을 정확히 사용하세요!
실수 2: x⁸의 계수와 혼동
x⁸의 계수를 구하는 거라면 2개의 괄호에서 상수를 골라야 하므로 풀이법이 달라져요. 문제에서 요구하는 차수를 정확히 확인하세요!
실수 3: 괄호 개수를 잘못 세는 경우
(x+1)부터 (x+10)까지이므로 총 10개예요. 9개나 11개로 잘못 세지 않도록 주의!
⏱️ 시간 관리 전략
목표 풀이 시간
내신 시험: 2~3분 (패턴을 알면 1분 이내 가능)
수능/모의고사: 1분 (상수의 합 공식만 적용하면 끝!)
시간을 줄이려면?
📚 더 공부하기 — 추천 순서
📝 연산 워크시트 (기초 다지기)
공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 04. 다항식의 곱셈 (2) 공통수학1 연산 05. 곱셈 공식 (1) 공통수학1 연산 06. 곱셈 공식 (2)📖 관련 개념 포스트
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💪 “일차식 n개의 곱 → x^(n−1)의 계수 = 상수의 합” 이 패턴 하나만 기억하면
이 유형은 10초 만에 답을 쓸 수 있어요! 화이팅! 🎯