1848번 · 세 조건으로 B³+2BA³ 구하기
MAPL 시너지 행렬과 그 연산 · 정답 ⑤
📌 문제 요약
영행렬이 아닌 이차정사각행렬 A, B가 AB=BA, (E−B)²=E−B, AB=−B 세 조건을 만족할 때, B³+2BA³과 항상 같은 행렬을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
조건 (나) (E−B)²=E−B에서 B²=B(멱등행렬)를 도출하고, 조건 (다) AB=−B에서 A의 B에 대한 작용을 파악하는 것이 핵심입니다. 또한 조건 (가) AB=BA를 통해 BA=−B도 성립함을 확인해야 합니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
각 조건에서 핵심 관계를 먼저 추출합니다. (E−B)²을 전개하면 E−2B+B²=E−B이므로 B²=B입니다. AB=−B이고 AB=BA이므로 BA=−B도 성립합니다. 이제 B³=B²·B=B·B=B이고, BA³=BA·A²=(−B)A²=−BA·A=−(−B)A=BA=−B입니다. 따라서 B³+2BA³=B+2(−B)=B−2B=−B입니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- (E−B)²=E−B에서 B²=B 유도 실패 — 전개할 때 E²=E, EB=BE=B임을 이용해야 합니다. 행렬 전개를 실수 전개처럼 하되 단위행렬의 성질을 정확히 적용해야 합니다.
- BA³ 계산에서 결합 순서 오류 — BA³ = B·A·A·A인데, AB=BA를 이용해 BA=−B로 바꾼 뒤 순차적으로 A를 곱해야 합니다. 한 번에 A³을 곱하면 계산이 꼬입니다.
- AB=BA 조건 활용 누락 — AB=−B에서 곧바로 BA=−B라고 결론 내면 안 됩니다. 반드시 조건 (가) AB=BA를 경유하여 BA=AB=−B임을 확인해야 합니다.
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