1831번 · 행렬 조건 활용 A(1,2) 구하기
2012년 11월 고2 학력평가 A형 13번 · 정답 ④ · MAPL 시너지 행렬과 그 연산
📌 문제 요약
이차정사각행렬 A가 A²−2A+E=O과 A(2,0)=(1,2) 두 조건을 만족할 때, A(1,2)=(a,b)를 만족시키는 a+b의 값을 구하는 문제입니다.
🔑 핵심 단서
조건 A²−2A+E=O에서 A² = 2A−E로 변환할 수 있습니다. 이를 통해 A²(2,0) = (2A−E)(2,0)으로 전개하면, A(2,0)의 조건만으로 A²이 열벡터에 작용하는 결과를 구할 수 있습니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 할까?
행렬 A를 직접 구하지 않는 전략이 핵심입니다. A²=2A−E 관계를 (2,0)의 양쪽에 적용하면 A²(2,0) = 2A(2,0)−E(2,0)이 됩니다. A(2,0)=(1,2)이므로 2(1,2)−(2,0) = (0,4)를 얻습니다. 이제 A(2,0)=(1,2)와 A(0,4)=(0,4) 등의 관계로부터 A(1,2)를 일차결합 형태로 구합니다. (1,2)를 (2,0)과 (0,4)의 결합으로 표현한 뒤 양변에 A를 곱하면 a, b를 결정할 수 있습니다.
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⚠️ 자주 하는 실수
- A² = 2A−E 변환 누락 — 케일리-해밀턴 정리 형태의 조건을 A²에 대해 정리하지 않고, 행렬 A의 성분을 직접 구하려고 시도하면 조건이 부족해 막힙니다.
- 열벡터 일차결합 오류 — (1,2)를 (2,0)과 (0,4)의 일차결합으로 표현할 때 계수를 잘못 설정하면 a, b 값이 틀어집니다. (1,2) = ½(2,0) + ½(0,4)처럼 정확히 분해해야 합니다.
- A(0,4)를 구하는 과정 실수 — A²(2,0) = A{A(2,0)} 관계에서 A(0,4)를 구할 때, (0,4) = A(1,2)가 아니라 A가 (0,4)에 작용하는 것을 구해야 하므로 순서에 주의하세요.
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