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A+B=E 조건과 행렬의 곱
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
두 행렬 A, B에 대하여 A+B=E이고 A³+B³의 값이 주어졌을 때, 행렬 AB의 2열의 모든 성분의 합을 구하는 문제입니다.
정답
③ 0
🔑 핵심 단서
A+B=E에서 A=E−B로 치환하는 것이 핵심입니다. A³=(E−B)³을 전개할 때 BE=EB이므로 다항식처럼 전개할 수 있습니다. A³+B³를 정리하면 −3B+3B²의 값을 알 수 있고, 여기서 AB=(E−B)B=B−B²를 구합니다.
🧭 풀이 전략
STEP A A=E−B 대입 → A³+B³=E−3B+3B². 주어진 값에서 −3B+3B²를 구하고 −B+B²를 도출
STEP B AB=(E−B)B=B−B² 계산 → 2열의 성분의 합 구하기
이 문제에서 가장 중요한 포인트는 A³+B³를 직접 인수분해하지 않고, A=E−B를 대입하여 B에 대한 식으로 바꾸는 것입니다. 행렬에서는 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않지만, B와 E의 곱은 교환되므로 다항식처럼 전개할 수 있습니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- (E−B)³ 전개 시 행렬의 곱셈 순서에 주의하세요. 다만 E와의 곱은 교환 가능하므로 이항정리처럼 전개할 수 있습니다.
- A³+B³=E−3B+3B²에서 E를 빼서 −3B+3B²를 구하는 과정의 행렬 뺄셈에서 부호 실수가 빈번합니다.
- 최종 답은 AB의 2열의 성분의 합입니다. AB의 모든 성분의 합이 아닌 2열만 구해야 하므로 문제 조건을 다시 확인하세요.