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행렬 연립방정식과 케일리-해밀턴
TOUGH │ 마플시너지 공통수학1 13단원📋 문제 요약
행렬 A에 대해 3X+2Y=A, X+Y=E를 만족시키는 이차정사각행렬 X, Y가 존재할 때, X²+Y²을 간단히 나타낸 것을 구하는 문제입니다.
정답
④ E
🔑 핵심 단서
두 등식을 연립하여 X=A−2E, Y=3E−A로 나타낸 뒤, X²+Y²을 전개하면 2A²−10A+13E가 됩니다. 여기서 케일리-해밀턴 정리(A²−5A+6E=O)를 적용하면 2(A²−5A+6E)+E=E로 깔끔하게 정리됩니다.
🧭 풀이 전략
STEP A ㉮−2×㉯ → X=A−2E, 3×㉯−㉮ → Y=3E−A
STEP B X²+Y²=(A−2E)²+(3E−A)²=2A²−10A+13E. 케일리-해밀턴 정리로 A²−5A+6E=O이므로, 2(A²−5A+6E)+E=E
이 문제의 핵심은 전개 후 나온 다항식을 케일리-해밀턴 정리로 묶어내는 것입니다. A의 고유다항식 λ²−(대각합)λ+(행렬식)=0에서 대각합=−1+6=5, 행렬식=(−1)(6)−(2)(−6)=6이므로 A²−5A+6E=O입니다.
🖼️ 해설 이미지
🎬 해설 영상
⚠️ 자주 하는 실수
🚫 주의할 점
- (A−2E)² 전개 시 AE=EA=A임을 이용해야 합니다. A²−4AE+4E²=A²−4A+4E로 정리해야 하는데 E²=E를 놓치는 경우가 있습니다.
- 케일리-해밀턴 정리에서 대각합과 행렬식 계산을 정확히 해야 합니다. 행렬식에서 (−1)(6)−(2)(−6)=6인데 부호 실수가 잦습니다.
- 직접 A²을 계산해서 대입하는 방법도 가능하지만, 케일리-해밀턴을 쓰면 계산이 훨씬 간결합니다.