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부정방정식 · 자연수 해
정답 11
🔑 핵심 단서
식 세우기 2000x + 3000y + 5000z = 30000 → 양변 ÷1000 → 2x + 3y + 5z = 30
조건 세 종류 모두 1개 이상 → x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1
전략 z의 계수가 가장 크므로 z를 고정하고 2x+3y의 자연수 해를 세면 효율적
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
세 변수 부정방정식은 계수가 가장 큰 변수를 먼저 고정하는 것이 정석입니다. z의 계수 5가 가장 크므로 z의 가능한 값이 가장 적기 때문입니다.
5z < 30이고 z ≥ 1이므로 z = 1, 2, 3, 4, 5
z=1 → 2x+3y = 25, x ≥ 1, y ≥ 1
(x,y) = (11,1), (8,3), (5,5), (2,7) → 4개
z=2 → 2x+3y = 20
(7,2), (4,4), (1,6) → 3개
z=3 → 2x+3y = 15
(6,1), (3,3) → 2개
z=4 → 2x+3y = 10
(2,2) → 1개
z=5 → 2x+3y = 5
(1,1) → 1개
합의 법칙: 4+3+2+1+1 = 11
① 식 정리 (÷1000)
② z 고정 (큰 계수 먼저)
③ 2x+3y 자연수 해
④ 합의 법칙
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⚠️ 자주 하는 실수
“적어도 하나” 조건 무시 — x=0이나 y=0을 포함시키면 세 종류 모두 포함 조건 위반
z를 고정 안 하고 x부터 나열 — x 범위가 넓어 경우가 폭발적으로 많아짐
2x+3y에서 y를 먼저 정하고 x를 구할 때 x가 자연수인지 확인 안 함 — 2x = 정수여야 하므로 3y를 뺀 나머지가 짝수인지 체크
z=5일 때 “2x+3y=5에 자연수 해가 없다”고 오판 — (1,1)이 존재
4+3+2+1+1 = 11