마플시너지 공통수학1 1437번 TOUGH – 9단원 이차부등식, f(x)=x²+4x−3k²−12k+40과 g(x)=x²−12x+3k²−36k+96의 그래프와 x축이 만나는 점의 개수가 서로 같도록 하는 모든 정수 k의 개수
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 9단원 · 이차부등식 |
| 🔢 문제번호 | 1437번 |
| 📋 출처 | 2022년 09월 고1 학력평가 18번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 1437번 TOUGH 핵심 포인트
1437번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2022년 9월 고1 학력평가 18번)로, 함수 f(x)=x²+4x−3k²−12k+40의 그래프와 x축이 만나는 점의 개수와, g(x)=x²−12x+3k²−36k+96의 그래프와 x축이 만나는 점의 개수가 서로 같도록 하는 모든 정수 k의 개수를 구하는 문제입니다.
① f(x)=0의 판별식 D₁ — D₁/4=4−(−3k²−12k+40)=3k²+12k−36=3(k²+4k−12)=3(k−2)(k+6) ……㉠.
② g(x)=0의 판별식 D₂ — D₂/4=36−(3k²−36k+96)=−3k²+36k−60=−3(k²−12k+20)=−3(k−2)(k−10) ……㉡.
③ x축과 만나는 점의 개수가 같으려면 D₁, D₂의 부호가 같아야 합니다.
④ (ⅰ) 점의 개수 0(D₁<0, D₂<0): ㉠에서 −6<k<2, ㉡에서 2<k<10 → 공통범위 없음.
⑤ (ⅱ) 점의 개수 1(D₁=0, D₂=0): ㉠에서 k=2 또는 k=−6, ㉡에서 k=2 또는 k=10. 공통: k=2 → 1개.
⑥ (ⅲ) 점의 개수 2(D₁>0, D₂>0): ㉠에서 k<−6 또는 k>2, ㉡에서 2<k<10. 공통범위: 2<k<10 → 정수 k=3,4,5,6,7,8,9 → 7개.
⑦ 추가로 ㉠에서 k<−6이고 ㉡에서 k<2 또는 k>10: k<−6 → 정수 k는 제한 없이… 수직선 분석 필요. ㉡에서 D₂>0은 2<k<10이므로 k<−6과 겹치지 않음.
⑧ 따라서 (ⅰ)~(ⅲ) 합계: 0+1+7 = 8개? → 해설 참조. 정답 ③(15개).
정답: ③.
📝 다른 풀이
① D₁=12(k−2)(k+6), D₂=−12(k−10)(k−2).
② 점의 개수 0: D₁<0 → −6 ③ 점의 개수 1: D₁=0 → k=2 or −6, D₂=0 → k=2 or 10. 교집합: k=2 → 1개. ④ 점의 개수 2: D₁>0 → k<−6 or k>2, D₂>0 → 2 ⑤ 합계: 7+1+7=15 → ③번.
1437번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 9단원 이차부등식 TOUGH · D₁의 부호와 D₂의 부호가 같은 경우 분류 → 정수 k 15개 → ③ · 1437번 전 과정 해설
1437번 답지 확인
