마플시너지 공통수학1 1435번 TOUGH – 9단원 이차부등식, 이차함수 y=x²+ax+1의 그래프와 직선 y=x−1의 두 교점 A, B에 대해 점 (3,2)가 선분 AB 위에 존재하도록 하는 정수 a의 최댓값
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 9단원 · 이차부등식 |
| 🔢 문제번호 | 1435번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 1435번 TOUGH 핵심 포인트
1435번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 이차함수 y=x²+ax+1의 그래프와 직선 y=x−1의 두 교점을 A, B라 할 때, 점 (3, 2)가 선분 AB 위에 존재하도록 하는 정수 a의 최댓값을 구하는 문제입니다.
① 교점의 x좌표 구하기 — x²+ax+1=x−1에서 x²+(a−1)x+2=0. 두 교점의 x좌표를 α, β(α<β)라 하자.
② 점 (3, 2)가 직선 y=x−1 위의 점 — 2=3−1=2 ✓. 따라서 (3, 2)가 선분 AB 위에 있으려면 α<3<β, 즉 두 근 사이에 3이 존재해야 합니다.
③ f(x)=x²+(a−1)x+2로 놓으면 — 두 근 사이에 3이 있으려면 f(3)<0.
④ f(3)=9+3(a−1)+2=9+3a−3+2=3a+8<0에서 a<−8/3.
⑤ 단, 두 점 A, B의 좌표가 모두 (3, 2)가 아니어야 하므로(단서 조건) f(3)≠0은 이미 만족.
⑥ 정수 a의 최댓값: a<−8/3=−2.666…이므로 a=−3.
정답: −3.
📝 다른 풀이
① 교점: x²+ax+1=x−1 → x²+(a−1)x+2=0, 두 근 α, β.
② 근과 계수: α+β=1−a, αβ=2. 점 (3,2)가 선분 AB 위 → α<3<β.
③ f(x)=x²+(a−1)x+2에서 f(3)=3a+8<0 → a<−8/3.
④ 또한 D=(a−1)²−8>0 → a<1−2√2 또는 a>1+2√2. a<−8/3<1−2√2≈−1.83이므로 D>0 자동 만족.
⑤ 정수 a 최댓값 = −3.
1435번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 9단원 이차부등식 TOUGH · x²+(a−1)x+2=0의 두 근 사이에 3 존재, f(3)<0 → a<−8/3 → 정수 a 최댓값 −3 · 1435번 전 과정 해설
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