마플시너지 공통수학1 1434번 TOUGH – 9단원 이차부등식, 두 이차함수 f(x)=x²−2x+a, g(x)=−x²−4x+2a에 대해 (1) 임의의 x에서 f(x)>g(x) 성립하는 a의 범위, (2) 임의의 x₁, x₂에서 f(x₁)>g(x₂) 성립하는 a의 범위
| 📘 교재 | 마플시너지 공통수학1 |
| 📐 단원 | 9단원 · 이차부등식 |
| 🔢 문제번호 | 1434번 |
| ⭐ 유형 | TOUGH |
마플시너지공수1답지 1434번 TOUGH 핵심 포인트
1434번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 두 이차함수 f(x)=x²−2x+a, g(x)=−x²−4x+2a에 대해 (1) 모든 실수 x에서 f(x)>g(x)가 성립하는 a의 범위와, (2) 임의의 실수 x₁, x₂에서 f(x₁)>g(x₂)가 성립하는 a의 범위를 구하는 문제입니다.
① (1) 임의의 x에서 f(x)>g(x) — f(x)−g(x)>0, 즉 x²−2x+a−(−x²−4x+2a)>0 → 2x²+2x−a>0이 모든 실수 x에서 성립.
② 이차함수 y=2x²+2x−a는 아래로 볼록(계수 2>0)이므로 D<0이면 항상 양수.
③ D/4=1−2(−a)=1+2a<0에서 a<−1/2.
④ (2) 임의의 x₁, x₂에서 f(x₁)>g(x₂) — f(x)의 최솟값이 g(x)의 최댓값보다 커야 합니다.
⑤ f(x)=x²−2x+a=(x−1)²+a−1이므로 f(x)의 최솟값=a−1.
⑥ g(x)=−x²−4x+2a=−(x+2)²+2a+4이므로 g(x)의 최댓값=2a+4.
⑦ a−1>2a+4에서 −a>5, a<−5.
정답: (1) a<−1/2 (2) a<−5.
📝 다른 풀이
① (1) 별해: y=f(x)의 그래프가 y=g(x)의 그래프보다 항상 위 → f(x)−g(x)=2x²+2x−a. 최솟값이 양수: −1/(4·2)·4−(−a)>0 → −1/2+a<0 아닌, 꼭짓점 y좌표 = 2·(−1/2)²+2·(−1/2)−a = 1/2−1−a = −1/2−a > 0 → a<−1/2.
② (2) 별해: {f(x)의 최솟값}>{g(x)의 최댓값}. 꼭짓점 이용: f의 최솟값=a−1, g의 최댓값=2a+4. a−1>2a+4 → a<−5.
1434번 TOUGH 엄선 풀이영상
▲ 9단원 이차부등식 TOUGH · (1) 2x²+2x−a>0 항상 성립 → a<−1/2, (2) f의 최솟값>g의 최댓값 → a<−5 · 1434번 전 과정 해설
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