마플시너지공수1답지 1406번 TOUGH 핵심 포인트

1406번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2012년 9월 고1 학평 17번)로, 삼차방정식 2x³+5x²+(k+3)x+k=0의 세 근이 모두 음수가 되도록 하는 실수 k의 값의 범위를 구하는 문제입니다.

① 조립제법으로 인수분해 — x=−1을 대입하면 2−5+(k+3)−k=0이므로 x+1은 인수. 조립제법으로 2x³+5x²+(k+3)x+k=(x+1)(2x²+3x+k).

② 세 근이 모두 음수인 조건 — x=−1은 이미 음수. 이차방정식 2x²+3x+k=0의 두 근 α, β도 모두 음수여야 합니다.

③ D≥0 — 9−8k≥0에서 k≤9/8 ……㉠.

④ α+β<0 — α+β=−3/2<0이므로 k에 관계없이 항상 성립.

⑤ αβ>0 — αβ=k/2>0에서 k>0 ……㉡.

㉠, ㉡에서 0<k≤9/8.

정답: ③ 0.