마플시너지공수1답지 1403번 TOUGH 핵심 포인트

1403번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2014년 9월 고1 학평 15번)로, 두 다항식 P(x)=3x³+x+11, Q(x)=x²−x+1에 대해 이차방정식 P(x)−3(x+1)Q(x)+mx²=0이 2보다 작은 한 근과 2보다 큰 한 근을 갖도록 하는 정수 m의 개수를 구하는 문제입니다.

① 이차방정식 정리 — P(x)=3x³+x+11, Q(x)=x²−x+1이므로 P(x)−3(x+1)Q(x)+mx²=0을 전개합니다. 3x³+x+11−3(x+1)(x²−x+1)+mx²=0에서 3(x+1)(x²−x+1)=3(x³+1)=3x³+3이므로 mx²+x+8=0.

② f(x)=mx²+x+8로 놓기 — 한 근이 2보다 작고 다른 한 근이 2보다 크려면 f(2)<0 (m≠0일 때).

③ m>0일 때 — f(2)=4m+10<0에서 m<−5/2. m>0과 모순이므로 해 없음.

④ m<0일 때 — 위로 볼록이므로 f(2)>0이어야 합니다. f(2)=4m+10>0에서 m>−5/2. 따라서 −5/2<m<0. 정수 m: −2, −1로 2개.

따라서 정수 m의 개수는 2.

정답: ② 2.