마플시너지공수1답지 1370번 TOUGH 핵심 포인트

1370번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2011년 11월 고1 학평 26번)로, AC=BC=12인 직각이등변삼각형 ABC에서 직사각형 PQCR의 넓이가 두 삼각형 APR과 PBQ의 각각의 넓이보다 클 때 모든 자연수 a의 값의 합을 구하는 문제입니다.

① 도형 설정 — AC=BC=12인 직각이등변삼각형 ABC에서 빗변 AB 위의 점 P에서 BC, AC에 내린 수선의 발을 Q, R이라 하면 QC=a이므로 0<a<12. △APR, △PBQ는 모두 직각이등변삼각형이므로 AR=PR=a, BQ=PQ=12−a.

② 넓이 표현 — □PQCR=a(12−a), △APR=(1/2)a², △PBQ=(1/2)(12−a)².

③ 조건 부등식 세우기 — □PQCR>△APR: a(12−a)>(1/2)a². 양변을 a로 나누면(a>0) 12−a>(1/2)a, (3/2)a<12이므로 0<a<8 ……㉠.

④ □PQCR>△PBQ: a(12−a)>(1/2)(12−a)². 양변을 (12−a)로 나누면(12−a>0) a>(1/2)(12−a), 2a>12−a이므로 4<a<12 ……㉡.

⑤ a의 범위 — ㉠, ㉡의 공통부분: 4<a<8. 자연수 a: 5, 6, 7.

모든 자연수 a의 값의 합: 5+6+7 = 18.

정답: 18.