마플시너지공수1답지 1367번 TOUGH 핵심 포인트

1367번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 세 변의 길이가 2x−1, x, 2x+1인 삼각형이 둔각삼각형이 되기 위한 실수 x의 값의 범위가 부등식 ax²+bx−8>0의 해와 같을 때 실수 a, b의 곱 ab의 값을 구하는 문제입니다.

① 삼각형 성립 조건 — 세 변의 길이가 모두 양수: 2x−1>0이므로 x>1/2 ……㉠. 가장 긴 변은 2x+1입니다.

② 삼각형 부등식 — 가장 긴 변 < 나머지 두 변의 합: 2x+1<x+(2x−1)이므로 x>2 ……㉡.

③ 둔각삼각형 조건 — 가장 긴 변의 제곱 > 나머지 두 변의 제곱의 합: (2x+1)²>x²+(2x−1)². 전개하면 x²−8x<0, 즉 0<x<8 ……㉢.

④ x의 범위 결정 — ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분: 2<x<8.

⑤ ax²+bx−8>0의 해가 2<x<8 — a<0이고 ax²+bx−8=a(x−2)(x−8)=a(x²−10x+16)이므로 b=−10a, −8=16a. a=−1/2, b=5. 따라서 ab=(−1/2)×5=−5/2.

정답: ② −5/2.