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2017년 06월 고1 학력평가 21번
정답 ① 3/2
🔑 핵심 단서
인수분해 첫째 식: x(x − a²) ≥ 0 → x ≤ 0 또는 x ≥ a² (a > 0이므로)
완전제곱 둘째 식: (x − 2a)² < 1로 변형 → 2a − 1 < x < 2a + 1 (폭이 정확히 2인 열린 구간)
구간 겹침 0 < a < √2 범위에서 a², 2a−1, 2a+1의 상대적 위치가 바뀌는 경계값(a = 1/2, 1)을 기준으로 경우를 나눠야 합니다.
💡 왜 이렇게 풀어야 하는가
이 문제의 핵심은 두 구간의 교집합이 a의 값에 따라 모양이 달라진다는 점입니다.
ⓐ은 “x ≤ 0 또는 x ≥ a²”로 수직선의 양 끝을 차지하고, ⓛ은 “2a−1 < x < 2a+1″로 길이 2의 구간입니다. 이 두 영역의 교집합 안에 정수가 정확히 1개가 되는 a를 찾아야 합니다.
a가 변하면 a², 2a−1, 2a+1의 크기가 바뀌면서 공통구간에 들어가는 정수 개수가 달라집니다. 그래서 a²과 2a−1, 2a+1의 대소 관계가 바뀌는 경계를 기준으로 구간을 분류합니다.
0 < a < √2에서 2a−1 ≤ a²이 항상 성립함을 확인하면(∵ a²−2a+1 = (a−1)² ≥ 0), 결국 공통구간은 a² ≤ x < 2a+1 부분만 살피면 됩니다.
①각 부등식 해 구하기
②경계값 파악 (1/2, 1)
③구간별 정수 개수 세기
④정수 1개인 a 합산
0 < a < 1/2
정수 x: 0, 1 → 2개
a = 1/2
정수 x: 1만 → 1개 ✓
1/2 < a < 1
정수 x: 1, 2 → 2개
a = 1
정수 x: 2만 → 1개 ✓
1 < a < √2
정수 x: 1~2개 변동
따라서 정수 해가 1개인 a의 값은 1/2과 1이고, 그 합은 3/2.
⚠️ 자주 하는 실수
둘째 부등식을 완전제곱식으로 바꾸지 못하고 판별식으로 접근 — 이 부등식은 근의 공식 대신 (x−2a)²−1 < 0으로 인식하면 해가 즉시 나옵니다.
경우 분류를 건너뛰고 대략적으로 판단 — a가 연속값이므로 경계점(1/2, 1)에서만 정수 개수가 정확히 1개가 되는데, 이 경계를 놓치기 쉽습니다.
ⓐ의 해를 “0 ≤ x ≤ a²”로 잘못 읽음 — 실제로는 x ≤ 0 또는 x ≥ a²입니다. “이상이거나”가 아니라 양 끝 두 조각입니다.
2a−1 ≤ a² 관계를 증명 없이 가정 — (a−1)² ≥ 0에서 나오는 핵심 부등식이므로 반드시 확인해야 합니다. 이걸 빠뜨리면 공통구간을 잘못 그립니다.
a = 1/2일 때 ⓛ의 구간 0 < x < 2에서 x = 0은 ⓛ에 포함 안 됨(열린 부등호)을 놓침
최종: a = 1/2, a = 1 → 합 = 3/2