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449. 이차함수-직선 교점 조건 → 자연수 n 개수 f(a)
⟨보기⟩
ㄱ. f(2) = 8
ㄴ. 두 실수 x₁, x₂에 대하여 x₁ < x₂이면 f(x₁) > f(x₂)이다.
ㄷ. f(0) + f(1) + f(2) + ⋯ + f(100) = 42
이차함수와 직선의 교점 존재 조건(판별식)을 세우고, 그 부등식에서 자연수 n의 개수를 a의 함수로 표현하여 보기별 참/거짓을 판별하는 능력을 묻는다.
핵심 요구 역량: 판별식 → 부등식 → 가우스 함수적 사고(정수 세기)
연립 → 이차방정식으로 환원
x² + 2(a−1)x + (a² + n − 12) = 0
판별식 D > 0 적용 → n의 범위 도출
= −2a − n + 13 > 0
∴ n < 13 − 2a ⋯ ①
🔑 이 부등식 하나가 이 문제의 전부다. 여기서 자연수 n의 개수가 곧 f(a).
f(a) 결정
n은 자연수(n ≥ 1)이고 n < 13 − 2a를 만족해야 하므로:
f(a)의 값:
13 − 2a ≤ 1 (a ≥ 6) → f(a) = 0
자연수 n은 1, 2, …, ⌊13−2a⌋ 까지 (단, 13−2a가 정수면 그 미만까지)
| 보기 | 분석 | 판정 |
|---|---|---|
| ㄱ |
a=2 대입: n < 13−4 = 9 자연수 n = 1,2,…,8 → f(2) = 8 ✓ |
참 ✓ |
| ㄴ |
반례 한 방: x₁=0.1, x₂=0.2 n < 13−0.2=12.8 → f(0.1) = 12 n < 13−0.4=12.6 → f(0.2) = 12 f(x₁) = f(x₂) ← 순감소가 아님. 계단함수 구조. |
거짓 ✗ |
| ㄷ |
a = 0,1,2,3,4,5일 때 각각 f(a) = 12, 10, 8, 6, 4, 2 a ≥ 6이면 f(a) = 0 (이후 모두 0) 합 = 12+10+8+6+4+2 = 42 ✓ |
참 ✓ |
13−2a가 연속적으로 감소하더라도, 자연수 개수 f(a)는 계단함수(정수값 변동)이다. a가 0.5씩 변해야 f(a)가 1 줄어드는 구조이므로, 같은 f(a) 값을 갖는 구간이 존재한다. 이 점을 간과하면 ㄴ을 참으로 고른다.
f(0)부터 합산 시작이므로 a=0도 포함시켜야 한다. 또한 a가 정수가 아닐 때도 f(a)를 묻는 문제이지만, ㄷ에서는 정수 a만 대입하면 되므로 계산이 깔끔해진다. a ≥ 6일 때 f(a)=0을 빠르게 잘라내는 것이 시간 절약 포인트.
구조 동질 2021학년도 수능 공통수학 22번 — 이차함수와 직선의 교점 조건에서 정수 해 개수를 함수화하는 구조. 판별식 → 부등식 → 정수 카운팅의 3단 변환이 동일.
유형 동질 2023년 6월 모의 공통 21번 계열 — 매개변수 포함 이차방정식의 판별식 조건에서 자연수 개수를 세는 보기 판별형. ㄴ번에서 “단조성” 함정을 넣는 출제 패턴이 반복됨.
사고 패턴 핵심 공통점: 연속 부등식에서 이산(자연수) 개수를 추출할 때, 가우스 함수적 계단 구조를 인식하는지가 승부처. 보기 ㄴ 유형에서 “반례 하나로 끝내는” 사고 습관이 시간 관리의 핵심.