[답지나라개념사전] 021 인수분해 공식 총정리 | 고등수학

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개념 021

인수분해 공식 총정리

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💡 핵심 개념

곱셈 공식에서 좌변과 우변을 바꾸면 인수분해 공식이 됩니다. 답지나라개념사전에서 정리하는 9가지 핵심 공식은 고등수학 인수분해의 기본 도구입니다. 인수분해 문제를 풀 때는 주어진 식을 전개하기 전에, 식 전체를 한눈에 보고 어떤 공식에 해당하는지 판단하는 눈을 키우는 것이 가장 중요합니다.

필수 암기 곱셈공식 역이용

① 완전제곱식 & 합차 공식

1$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

2$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

①번은 가운데 항이 $2ab$인지 확인합니다. ②번은 두 항이 모두 제곱 꼴이고 빼기로 연결되면 즉시 적용할 수 있습니다.

② 이차식 인수분해

3$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

4$acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

③번은 곱해서 상수항, 더해서 일차항 계수가 되는 두 수를 찾습니다. ④번은 최고차항의 계수가 1이 아닌 경우에 사용하며, 대각선 곱(십자가 곱셈)을 이용해 교차 확인하면 빠르고 정확합니다. 시험에서 가장 자주 등장하는 유형이므로 충분히 연습해두세요.

③ 세 문자의 완전제곱식

5$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$

제곱항 3개와 교차항 3개가 보이면 이 공식을 떠올립니다. 교차항의 부호로 $(a+b+c)$, $(a-b-c)$ 등 부호 조합이 달라질 수 있습니다.

④ 세제곱 관련 공식

6$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3$

$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3$

7$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

🎯 포인트

⑦번에서 두 번째 괄호의 부호가 반대입니다. “같부 반부 양(같은 부호, 반대 부호, 양의 부호)”으로 외우면 실수를 줄일 수 있습니다.

⑤ 고급 공식 심화

8$a^3+b^3+c^3-3abc$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$=\dfrac{1}{2}(a+b+c)\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$

9$a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)$

🎯 자주 출제!

⑧번에서 $a+b+c=0$이면 $a^3+b^3+c^3=3abc$가 성립합니다. 이 성질은 서술형 문제에서 단골로 등장하므로 반드시 기억하세요.

⚡ 실전 적용 TIP

인수분해 공식을 적용할 때는 식을 전개하기 전에 먼저 전체 구조를 파악해야 합니다. 전개해서 정리한 뒤 인수분해하는 것보다, 공식을 직접 적용하는 것이 훨씬 빠르고 실수도 줄일 수 있습니다.

예) $(2x+1)^2-(x-3)^2$은 전개하지 말고 $\blacksquare^2-\blacktriangle^2$ 합차 공식을 바로 적용!

$=\{(2x+1)+(x-3)\}\{(2x+1)-(x-3)\}=(3x-2)(x+4)$

⚠️ 주의

계수가 유리수 범위에서 더 이상 분해할 수 없을 때까지 인수분해해야 합니다.

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