마플시너지공수1답지 1327번 TOUGH 항상 성립 이차부등식 핵심 포인트

1327번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, 0 ≤ x ≤ 1에서 이차부등식 x²−2ax+a+2 ≥ 0이 항상 성립할 때 실수 a의 값의 범위를 구하는 문제입니다. 제한된 범위에서 항상 성립 조건이므로 대칭축의 위치에 따라 경우를 나누어야 합니다.

① f(x) = x²−2ax+a+2라 하면 — f(x) = (x−a)²−a²+a+2이므로 대칭축이 x = a입니다.

② (ⅰ) a < 0일 때 — 최솟값은 x = 0일 때이므로 f(0) = a+2 ≥ 0, 즉 a ≥ −2. 따라서 −2 ≤ a < 0.

③ (ⅱ) 0 ≤ a ≤ 1일 때 — 최솟값은 x = a일 때이므로 f(a) = −a²+a+2 ≥ 0, (a+1)(a−2) ≤ 0에서 −1 ≤ a ≤ 2. 따라서 0 ≤ a ≤ 1.

④ (ⅲ) a > 1일 때 — 최솟값은 x = 1일 때이므로 f(1) = 1−2a+a+2 = 3−a ≥ 0, 즉 a ≤ 3. 따라서 1 < a ≤ 3.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 a의 값의 범위: −2 ≤ a ≤ 3 → ④번.