마플시너지공수1답지 1282번 TOUGH 치환 + 항상 성립 핵심 포인트

1282번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제(2018년 3월 고2 학평 가형 21번)로, 이차함수 f(x)에 대하여 (가) f((1−x)/4) ≤ 0의 해가 −7 ≤ x ≤ 9, (나) 모든 실수 x에 대해 f(x) ≥ 2x−13/3이 성립할 때, f(3)의 최댓값 M과 최솟값 m의 차 M−m을 구하는 문제입니다.

STEP A. 조건 (가)를 이용하여 이차함수 f(x)의 식 세우기

조건 (가)에서 (1−x)/4 = t라 하면 x = 1−4t이고, −7 ≤ 1−4t ≤ 9에서 −8 ≤ −4t ≤ 8, 즉 −2 ≤ t ≤ 2.

즉 부등식 f(t) ≤ 0의 해가 −2 ≤ t ≤ 2이므로 이차함수의 식은 f(x) = k(x−2)(x+2) = k(x²−4) (k > 0)으로 놓을 수 있습니다. ···㉮

STEP B. 조건 (나)를 이용하여 k의 범위 구하기

조건 (나)에서 f(x) ≥ 2x−13/3에 ㉮을 대입하면 k(x²−4)−2x+13/3 ≥ 0, 즉 kx²−2x−4k+13/3 ≥ 0이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 합니다.

k > 0(아래로 볼록)이고 판별식 D ≤ 0이어야 하므로 D/4 = 1−k(−4k+13/3) ≤ 0, 4k²−13k/3+1 ≤ 0. 양변에 3을 곱하면 12k²−13k+3 ≤ 0, (4k−3)(3k−1) ≤ 0이므로 1/3 ≤ k ≤ 3/4. ···㉯

STEP C. f(3)의 최댓값과 최솟값의 차 구하기

㉮에서 f(3) = k(3²−4) = 5k이므로 ㉯의 각 변에 5를 곱하면 5/3 ≤ 5k ≤ 15/4, 즉 5/3 ≤ f(3) ≤ 15/4. 따라서 M = 15/4, m = 5/3이므로 M−m = 15/4−5/3 = 45/12−20/12 = 25/12.

정답: ⑤ 25/12