마플시너지공수1답지 1245번 TOUGH 유일한 해 → 계수 관계식 핵심 포인트

1245번은 9단원 이차부등식 TOUGH 문제로, ax² + bx + c ≤ 0의 해가 x = −1/2뿐일 때, (b/4)x² + cx − (3/2)a < 0을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하는 문제입니다.

STEP A. 주어진 이차부등식의 해를 이용하여 a, b, c의 관계식 구하기

ax² + bx + c ≤ 0의 해가 x = −1/2뿐이므로 이차함수 f(x) = ax² + bx + c의 그래프는 a > 0이고 x축과 점 (−1/2, 0)에서 접합니다. 즉 f(x) = a(x + 1/2)² (a > 0).

ax² + bx + c = a(x² + x + 1/4) = ax² + ax + (1/4)a이므로 b = a, c = (1/4)a ···㉮

STEP B. 부등식 (b/4)x² + cx − (3/2)a < 0의 해 구하기

㉮를 (b/4)x² + cx − (3/2)a < 0에 대입하면 (a/4)x² + (a/4)x − (3/2)a < 0. 4/a > 0이므로 양변에 4/a를 곱하면 x² + x − 6 < 0, (x+3)(x−2) < 0. 따라서 −3 < x < 2.

정수 x는 −2, −1, 0, 1로 개수는 4.

정답: 4