마플시너지공수1답지 1197번 TOUGH 절댓값+제곱근 해 일치 핵심 포인트

1197번은 8단원 부등식 TOUGH 문제로, |x−1| + √(x²+6x+9) ≤ x+7과 |2x−b| ≤ a의 해가 일치할 때 ab를 구하는 문제(단, a > 0)입니다.

STEP A. 범위를 나누는 기준이 되는 x의 값 구하기

√(x²+6x+9) = √(x+3)² = |x+3|이므로 주어진 부등식은 |x−1| + |x+3| ≤ x+7. 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값은 x = −3, x = 1. 이를 기준으로 (ⅰ) x < −3, (ⅱ) −3 ≤ x < 1, (ⅲ) x ≥ 1로 나눕니다.

STEP B. x의 값의 범위에 따른 부등식의 해 구하기

(ⅰ) x < −3일 때: |x−1| = −(x−1), |x+3| = −(x+3)이므로 −(x−1)−(x+3) ≤ x+7, −2x−2 ≤ x+7, −3x ≤ 9, x ≥ −3. 그런데 x < −3이므로 해가 없다.

(ⅱ) −3 ≤ x < 1일 때: |x−1| = −(x−1), |x+3| = x+3이므로 −(x−1)+(x+3) ≤ x+7, 4 ≤ x+7, x ≥ −3. −3 ≤ x < 1이므로 −3 ≤ x < 1.

(ⅲ) x ≥ 1일 때: |x−1| = x−1, |x+3| = x+3이므로 (x−1)+(x+3) ≤ x+7, 2x+2 ≤ x+7, x ≤ 5. x ≥ 1이므로 1 ≤ x ≤ 5.

(ⅰ)~(ⅲ)에 의해 부등식을 만족하는 x의 값의 범위는 −3 ≤ x ≤ 5 ···㉮

STEP C. |2x−b| ≤ a의 해와 일치하는 a, b의 값 구하기

|2x−b| ≤ a에서 −a ≤ 2x−b ≤ a, (−a+b)/2 ≤ x ≤ (a+b)/2 ···㉯. ㉮와 ㉯가 서로 같으므로 (−a+b)/2 = −3, (a+b)/2 = 5. 즉 −a+b = −6 ···①, a+b = 10 ···②. ①+②에서 2b = 4, b = 2. ②에 대입하면 a = 8.

따라서 ab = 8 × 2 = 16. 정답: ⑤ 16