마플시너지공수1답지 1173번 TOUGH 등변사다리꼴·삼각함수 핵심 포인트

1173번은 8단원 부등식 TOUGH문제(2018년 9월 고1 학평 18번)로, AC=BD, CD=20m, ∠BAC=120°인 등변사다리꼴 ACDB에서 점 A에서 선분 CD에 내린 수선의 발을 E라 할 때, 선분 AB 길이 d에 대한 식으로 나타내고 사다리꼴 넓이 조건을 이용하여 d의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.

STEP A — 등변사다리꼴 ACDB에서 선분 CE, AE, AC의 길이를 d에 대한 식으로 나타내기

중앙 스크린의 가로인 선분 AB의 길이가 d(d>0)이므로

CE = 1/2(20-d) = 10 – 1/2·d

이때 직각삼각형 ACE에서

AE = CE tan60° = (10 – 1/2·d)×√3 = 10√3 – (√3/2)d (m)

AC = CE/cos60° = (10 – 1/2·d)/(1/2) = 20 – d (m)

STEP B — 조건을 만족하는 부등식을 세운 후 d의 값의 범위 구하기

선분 AB의 길이는 선분 AC의 길이의 4배보다 크지 않으므로

즉 AB ≤ 4AC이므로

d ≤ 4×(20-d), d ≤ 80-4d, 5d ≤ 80

∴ d ≤ 16 ··· ⓐ

사다리꼴 ACDB의 넓이가 75√3 이상이므로

즉 1/2×(AB+CD)×AE ≤ 75√3이므로

1/2×(d+20)×(10√3 – (√3/2)d) ≤ 75√3

(d+20)×(10√3 – (√3/2)d) ≤ 150√3

10√3d – (√3/2)d² + 200√3 – 10√3d ≤ 150√3

200√3 – 150√3 ≤ (√3/2)d²

50 ≤ (1/2)d²

∴ d ≤ -10 또는 d ≥ 10 ··· ⓑ

STEP C — d의 최댓값과 최솟값의 합 구하기

ⓐ, ⓑ의 공통범위를 구하면 d ≤ -10 또는 10 ≤ d ≤ 16

이때 d>0이므로 10 ≤ d ≤ 16

따라서 d의 최댓값과 최솟값의 합은 16+10=26.